В МФТИ на базе Физтех-школы физики и исследований им. Ландау начал свою работу Центр фундаментальной математики. Руководит им Алексей Бондал, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Математического института им. Стеклова РАН. На базе центра запускается также новая магистерская программа «Современная фундаментальная математика». Мы поговорили с Алексеем Игоревичем о фундаментальной математике и о задачах, которые будет решать центр.
— Что за наука фундаментальная математика?
Фундаментальная математика — это результат глубокого осмысления математических идей и методов, развивавшихся на протяжении столетий. Это в определенном смысле философский взгляд на то, как надо думать о математических проблемах и как надо понимать математические теории как высокого уровня, так и общеизвестные, даже те, которые изучаются на младших курсах университетов. Все вместе это составляет математическую культуру. Это может показаться странным, но культура эта имеет довольно универсальный характер. Человек, обладающий ею, приезжает в математический центр мирового уровня в любой географической точке на нашей планете и может быстро найти общий язык с любым математиком, который учился и воспитывался в другой среде, при условии, что собеседник также является носителем математической культуры.
— Чем будет заниматься Центр фундаментальной математики?
Центр должен стать местом на Физтехе, где математическая культура почувствует себя как дома. Естественно, она не будет процветать сама по себе — мы привлечем ученых, которые будут развивать современную фундаментальную математику, решать ее самые содержательные и известные проблемы, а также заниматься ее приложениями к физике. Среди математиков, которые будут работать в нашем центре, — выдающийся российский и американский ученый Вячеслав Шокуров. Его ученик Кошер Биркар получил Филдсовскую премию за решение сложнейших задач в области бирациональной геометрии. Глубокое осмысление идей Шокурова сыграло важнейшую роль в становлении Биркара как ученого.
Как работает фундаментальная математика? Приведу один пример. В прошлом году мы совместно с Ильей Ждановским из нашей лаборатории написали статью, где изучали проблемы дискретного гармонического анализа, которые связаны с ортогональными разложениями простых алгебр Ли. На определенном уровне абстрактизации проблемы выясняется, что она имеет отношение к некоторым базовым вопросам квантовой механики и квантовой теории информации — проблеме описания так называемых несмещенных базисов. Сначала мы переформулировали главную задачу в терминах теории представлений. Затем мы пошли дальше, обдумали категорный смысл исследуемых объектов и обнаружили связь этой тематики с современными методами топологии — теорией превратных пучков на стратифицированных топологических пространствах и их некоммутативных аналогов. Тем самым мы предложили подход, который находится за пределами того, чем занимаются сегодня специалисты квантовой теории информации. Они, скорее всего, в подавляющем большинстве даже не слышали, что такое превратные пучки на стратифицированных топологических пространствах. То есть тут возникает совершенно другой язык, на котором ведутся исследования. Он позволяет сразу взглянуть на проблему с более глубокой точки зрения и использовать достижения другой области математики, но он и предъявляет определенные требования к знаниям исследователя. Поэтому нам нужны заинтересованные молодые ученые, которые готовы заниматься старыми проблемами по-новому.
Живой организм современной математики постоянно требует прилива свежих сил. В последние годы наша страна предоставляет много возможностей для реально сильных молодых людей, которые хотят заниматься наукой и у которых это получается. Кроме Москвы, есть известные математические центры в Петербурге, Новосибирске, Красноярске… А мы можем воспитывать свои кадры здесь, в Долгопрудном. Физтех является прекрасным местом, где эти молодые силы можно черпать.
С другой стороны, есть запрос от студентов, желающих заниматься фундаментальной математикой. Мышление математическое отличается от мышления физического философски, глобально. Мне кажется, это заложено от рождения. Математики и физики по-разному смотрят на науку. Я работал в японском Институте математики и физики вселенной, отвечал там за взаимодействие математической группы с физиками и был поражен, насколько физики по-другому воспринимают даже одни и те же объекты изучения.
Вообще, есть два способа взаимодействия математики и физики. Физики все время предлагают новые задачи для математиков, которые возникают в результате «оцифровывания» физических проблем. Это всегда было и происходит до сих пор. Из этого выросла вся математика, а в современном научном мире из относительно новых точек взаимодействия физики и математики возникла математическая физика, которая занимается непосредственным решением физических задач. Но параллельно идет другой процесс — математики осмысливают эти задачи с точки зрения своей науки и своей культуры. Этот процесс математического осмысления идет на протяжении веков и сам по себе достигает такого уровня знаний, что в некоторых случаях физики приходят с очередной проблемой и находят у математиков уже готовую теорию или новую для себя точку зрения, хотя, казалось бы, математики обдумывали свои вопросы, естественным образом возникающие в ходе их логических рассмотрений и прямого отношения к физике не имеющие. Это второй способ взаимодействия, когда у математиков уже есть своя фундаментальная теория, и они могут не только «посчитать», но и подсказать, что делать и как думать дальше. Я надеюсь, такой второй подход и будет развиваться у нас в центре.
Мы хотим создать благоприятную среду для приобретения студентами языка, идей и знаний, которые вместе составляют математическую культуру, и привлечь их к увлекательному процессу математического познания, то есть к самостоятельному решению научных проблем и конструированию древа математического знания.
У центра будет общий семинар, где мы станем обсуждать новейшие достижения фундаментальной математики, и ряд других специальных семинаров, а также просеминар для студентов. Математика будет обсуждаться как на семинарах, так и в неформальной обстановке за чашкой чая.
Мы собираемся организовывать годовые или полугодовые программы по определенным темам, таким как проблемы тысячелетия института Клея, с приглашением со всего мира ведущих математиков по выбранной тематике.
В центре уже начал действовать Международный экспертный совет из признанных мировым сообществом математиков. Совет создан с целью помогать центру сохранять высокий уровень научных исследований.
— Каковы основные научные направления деятельности математического центра?
Позвольте мне перечислить их в том виде, в каком это написано в официальном уставном документе центра.
- Гомологическая алгебра. Теория производных категорий и бесконечность-категорий в приложении к коммутативной и некоммутативной геометрии.
- Алгебраическая геометрия и теория мотивов. Приложения к проблемам квантовой теории поля и теории струн.
- Теория представлений в широком смысле: представления групп и алгебр Ли, представления ассоциативных алгебр, геометрическая теория представлений.
- Дифференциальная геометрия. Некоммутативные деформации.
- Квантовая теория информации. Подходы и формулировки современным аппаратом фундаментальной математики.
- Алгебраические и геометрические проблемы теории вычислительной сложности.
- Арифметическая алгебраическая геометрия и ее применения в теории чисел.
- Комбинаторная и аналитическая теория чисел.
- Гомотопическая топология, маломерная топология.
— Сейчас в центре одна лаборатория агебраической геометрии и гомологической алгебры. Будут ли еще лаборатории?
Мы уже обсуждали с китайскими коллегами создание в нашем центре совместной российско-китайской лаборатории, а также программ студенческого обмена и совместных программ постдоков. Были предварительные обсуждения взаимодействия с другими мировыми математическими центрами как в России, так и за рубежом. Мы планируем организовывать визитерские программы для российских ученых для научного взаимодействия с ними, а также международные научные конференции.
— Центр фундаментальной математики будет работать как базовая кафедра?
Да, таков план, но, вероятно, не сразу. Со следующего учебного года мы открываем магистратуру. Там будут продвинутые основные курсы, которые будут читать сотрудники нашего центра. К примеру, будет курс «Manifolds, bundles, connections, and cohomology» профессора Криса Брава. Среди специальных курсов будет «Маломерная топология и алгебраические кривые», его будет читать один из ведущих мировых специалистов в этой области Степан Оревков, старший научный сотрудник МИАН и сотрудник нашего центра.
Подготовка планируется серьезная, чтобы ее освоить, у студента должен быть прежде всего истинный интерес к математике. На Физтехе учится очень много победителей математических олимпиад. Это, конечно, показатель силы молодого человека. Но иногда олимпиадный навык становится проблемой. Человек научается быстро решать задачи. А фундаментальная математика предполагает заинтересованность в изучении предмета длительное время и совершенствование своего понимания. Тут быстро не получится. Если у студента есть интерес, он будет слушать своего научного руководителя, читать книжки, искать информацию в Интернете. Но когда дойдет до сути проблемы, никто ему не сможет подсказать правильное решение, он должен будет сделать что-то самостоятельно. Вероятно, эта самостоятельность, то есть отчасти независимость, и привлекает молодых людей к занятию математикой. Этот процесс построения математического древа становится смыслом жизни. Нас притягивает в математике ее внутренняя красота. Студенту, который идет к нам в магистратуру, нужно прислушаться к себе и понять только одно: готов ли он заниматься математикой серьезно.
Мы планируем через год открыть и бакалаврскую программу. Сейчас идет интенсивное обсуждение как этой программы, так и того, какие курсы мы можем предложить студентам бакалавриата уже в ближайшем учебном году. Надеемся определиться с этим к сентябрю.
Кстати, буквально на ближайших выходных, 2–3 июля 2022 года, мы организуем научную конференцию, где можно будет познакомиться с исследовательской деятельностью сотрудников нового центра, которых мы только что привлекли к работе в МФТИ. Приглашаются все желающие!
