Российские ученые нашли новое интегральное представление различных произведений функций Эйри, которое позволяет написать точное решение многих задач математической физики. В частности, описывать квантовое движение электрона в постоянном внешнем электрическом поле, что дает возможность распространить теорию туннельной ионизации молекул на случай сильных полей — крайне важный аспект для аттосекундной физики. Работа опубликована в Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik.
Современные физики, используя передовые технологии, смогли добиться значительных успехов в восстановлении электронной структуры молекул. Для этого они применяют мощные лазеры, которые излучают свет, взаимодействующий с молекулами на уровне, крайне малом по времени. Анализируя спектры переизлучения и продукты, возникающие в результате взаимодействия молекул с лазерным излучением, ученые могут многое узнать о внутренних процессах. К числу этих продуктов относятся фотоны, электроны и ионы, которые образуются в результате ионизации и разрушения молекул.
Уникальность использованных методов подчеркивается тем, что аттосекунда — это невероятно короткий интервал времени, равный одной миллиардной доле от миллиардной доли секунды. За такой короткий срок свет лазера проходит расстояние, не превышающее десятитысячные доли микрометра, что соответствует размерам молекулы.
В последнее время наблюдается повышенный интерес к процессу туннельной ионизации, который позволяет ученым наблюдать за динамикой движения электронов и ядер в микромасштабах с аттосекундной точностью. Туннельная ионизация является ключевым этапом в отслеживании перемещения электронов и образовавшихся «дырок» в молекулах. В перспективе это может привести к возможности управления их движением, что, в свою очередь, откроет новые горизонты в молекулярной биологии, фармацевтике, органической химии и других направлениях промышленности.
Для освоения этой технологии, помимо сложностей технологических, предстоит также преодолеть сложности математические. Дело в том, что существующая теория туннельной ионизации молекул построена только для случая слабых полей, в то время как требуется исследовать эти процессы в сильных полях.
Российским ученым в своем новом исследовании удалось сделать важный шаг для построения точного математического описания процесса туннельной ионизации. В подобных задачах невероятно важную роль играет функция Грина уравнений Шредингера для электрона во внешнем поле. Потому как она позволяет переписать описывающее туннельную ионизацию дифференциальное уравнение в интегральной форме. В некотором классе задач такие интегральное уравнения могут быть решены точно. Работа авторов позволяет получить функцию Грина соответствующего оператора, что позволит впоследствии сильно продвинуться в теоретическом описании туннельной ионизации в сильных электрических полях. Причем вывод выражения для такой функции Грина основывается на интегральном представлении для произведений функцией Эйри.
Функции Эйри — это решения уравнения квантового движения электрона в треугольной яме. Для задачи туннельной ионизации требуются не его решения непосредственно, а функции, которые являются произведением двух его решений, одно из которых сдвинуто относительно другого по значению своего аргумента. Оказалось, что требуемый ответ можно получить, используя метод контурного интегрирования Лапласа в теории функций комплексного переменного. Суть этого метода заключается в том, чтобы представить решение некого дифференциального уравнения в виде интеграла по кривой в комплексной плоскости. С помощью этого метода были получены интегральные представления многих специальных функций.
Иногда функции комплексного переменного становятся многозначными. Например, корень из –1 можно выбрать с разными знаками, как +i, так и –i. При определении такого знака возникает разрез — линия на комплексной плоскости, которую не может пересекать контур интегрирования. Поэтому для вычисления подобных интегралов требуется установить линии разреза. Получилось, что у исследуемого уравнения существует 4 независимых друг от друга решения, два из которых имеют вертикальную линию разреза (ученые обозначили их U+–), а два других — наклонные линии (W+–).
Рисунок 1. Схема контуров для представлений функций Эйри со сдвинутыми друг относительно друга аргументами. Волнистая линия обозначает ветвь разреза в комплексной плоскости k. Сплошные линии обозначают контуры интегрирования. Цветные области показывают внутренние и асимптотические долины. Ветвь разреза, контуры R± и O, а также внутренняя долина соответствуют случаю arg z0 = 0. Источник: Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik.
Рисунок 2. Схема контуров для представлений функций Эйри со сдвинутыми друг относительно друга аргументами. Волнистая линия обозначает ветвь разреза в комплексной плоскости k. Сплошные линии обозначают контуры интегрирования. Цветные области показывают внутренние и асимптотические долины. Источник: Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik.
Ученым удалось найти явный вид решений и исследовать, как они себя ведут при очень больших значениях аргумента, что является наиболее важной задачей для физических приложений. Используя эти результаты, им удалось получить ключевой результат — функцию Грина для электрона в статическом электрическом поле, которая позволяет легко описывать точно его движение под действием этого поля на основе законов квантовой механики при любых начальных условиях.
«Обычно мы не можем точно решить физическую задачу и приходится применять некоторые асимптотические теории, когда один из параметров системы очень мал, либо наоборот очень велик. Это, конечно, является лишь приближенным решением задачи. Найденные в нашей работе интегральные представления для произведения функций Эйри и найденная с их помощью функция Грина позволят в некоторых ситуациях описать процесс туннельной ионизации точно, без всяких приближений. Что несомненно продвинет нас в понимании данного процесса», — объясняет Кирилл Базаров, научный сотрудник лаборатории теоретической аттосекундной физики МФТИ.
