Коллектив исследователей из МФТИ разработал новые методики моделирования распространения сейсмических волн в средах со сложной геометрией. Это важно для эффективного поиска новых месторождений нефти и газа. Исследование опубликовано в журнале Lobachevskii Journal of Mathematics.
Проблема точного моделирования распространения сейсмических волн в неоднородных средах стоит перед геофизиками уже несколько десятилетий. Ранее попытки ученых использовать методы конечных разностей и конечных элементов на неструктурированных сетках столкнулись с трудностями в обеспечении вычислительной эффективности при высокой точности. Развитие методов на разнесенных сетках и гибридных подходов частично решило эту проблему, но до сих пор не существовало универсального решения для широкого класса задач.
Традиционные методы решения обратных задач сейсморазведки сталкиваются с трудностями при учете рассеяния волн на границах и контактных границах сложной формы. Это приводит к снижению точности результатов и, как следствие, к неэффективному использованию ресурсов при поисках новых месторождений.
Разработанный учеными МФТИ метод, основанный на использовании химерных сеток, позволяет эффективно преодолеть эти ограничения. Это особенно важно для поиска и разведки труднодоступных месторождений углеводородов, так как он позволяет существенно повысить точность прогнозирования месторождений углеводородов, одновременно сокращая вычислительные затраты.
Химерные сетки представляют из себя комбинацию декартовой (фоновой) и криволинейной сеток. Это позволяет точно учитывать условия на границах сложной формы. Связь между сетками осуществляется с помощью интерполяции.
Ученые сравнили пять различных методов генерации таких сеток, оценивая их по нескольким ключевым параметрам: максимально допустимое число Куранта (определяющее стабильность вычислений), скорость вычислений, точность и порядок сходимости.
Рисунок 1. (а) постановка задачи, (b) равномерный шаг в исходной параметризации, IG = 0, 2, (c) равномерный шаг в естественной параметризации, (d) перпендикуляр в среднем узле m ∈ [1, M − 2], M — количество узлов на границе, (e) перпендикуляр в угловом узле m = 0, M − 1. Источник: «Lobachevskii Journal of Mathematics».
Исследование продемонстрировало эффективность такого комбинированного метода использования двух видов сетки с интерполяцией, который позволяет замедлить снижение порядка сходимости при уменьшении шага сетки. Хотя использование простейшего расщепления по направлениям (первого порядка) показало несколько меньший порядок сходимости, оно остается эффективной стратегией для проведения реальных расчетов, особенно при учёте затрат на вычислительные ресурсы.
Каждый из этих алгоритмов был тщательно протестирован на восьми репрезентативных геологических моделях, включающих как относительно простые (например, моделирование топографии поверхности), так и сложные криволинейные границы (например, моделирование поверхности рельса или сложных неоднородностей внутри горных пород). Было проверено три различных метода уменьшения размера шага химерной сетки в поперечном направлении.
Рисунок 2. Конформные с границами химерные сетки. IS означает индекс формы сетки Химеры, IG означает индекс границы, соответствующий методу генерации химеры: (a) IS = 7, IG = 0, равномерный шаг в исходной параметризации, просто опускает границу вниз, (b) IS = 7, IG = 1, равномерный шаг в исходной параметризации с использованием перпендикуляров, (c) IS = 7, IG = 2, равномерный шаг в естественной параметризации верхней границы, простое опускание границы вниз, (d) IS = 7, IG = 3, (e) IS = 7, IG = 4, равномерный шаг в естественной параметризации верхней границы с использованием перпендикуляров, (f) IS = 5, IG = 1, равномерный шаг в естественной параметризации верхней и нижней границ с использованием перпендикуляров, итеративная, (g) IS = 6, IG = 1, (h) IS = 4, IG = 1, (i) IS = 3, IG = 1, (j) IS = 2, IG = 1, (k) IS = 1, IG = 1, (l) IS = 0, IG = 1. Источник: «Lobachevskii Journal of Mathematics».
В качестве тестовой задачи использовалось распространение плоской продольной волны в однородной среде, позволяющее объективно оценить точность и сходимость методов. Начальное состояние моделировалось волной длиной 20 метров, наклоненной под углом 35° к горизонтали — угол, специально выбранный для проверки алгоритмов в наиболее сложных условиях.
Результаты показали высокую точность расчетов, подтвержденную оценкой численной сходимости и определением порядка сходимости. Кроме того, было исследовано влияние выбора алгоритма генерации химерных сеток на скорость работы программы и затраты оперативной памяти.
Исследователям удалось выяснить, что один из разработанных алгоритмов генерации химерных сеток продемонстрировал наилучшую эффективность, максимизируя максимально допустимое число Куранта (параметр, определяющий стабильность и скорость вычислений). Этот метод был обозначен как IG = 4 в исследовании. Суть его заключалась в итеративном опускании по перпендикулярам от узлов сетки, расположенных на границ, Такой подход позволяет с помощью сетки наиболее точно повторять геометрию даже очень сложной формы, точно учитывая граничные условия. Метод с IG = 4 обеспечивает высокое число Куранта и оптимальную точность.
Авторы исследования также изучили влияние уменьшения шага фоновой сетки на различные параметры, подтвердив преимущества выбранных алгоритмов.
По результатам моделирования ученые предложили следующую оптимальную стратегию выбора метода построения сеток в зависимости от сложности геометрии:
- Сложные геометрии с резко меняющимся уклоном: IG = 4 (итеративный алгоритм).
- Геометрии со средним градиентом: IG = 3 (естественные параметризации с перпендикулярами).
- Слабо меняющиеся функции с градиентами, близкими к нулю: IG = 0 (равномерный шаг).
Исследование также показало влияние различных методов уменьшения шага химерной сетки в поперечном направлении (IW). Оказалось, что из трех рассмотренных, метод, обозначаемый IW = 2, предполагающий адаптивное увеличение числа узлов, оказался наиболее эффективным для поддержания высокой точности и сходимости при изменении шага фоновой сетки.
Выбор оптимального расщепления по направлениям также играет важную роль. В то время как оператор расщепления третьего порядка теоретически обеспечивает более высокую точность, его практическое применение ограничено из-за существенного увеличения вычислительных затрат. В большинстве случаев, особенно при достаточном разрешении (более 40 точек на длину волны), классическое расщепление по направлениям первого порядка оказывается более эффективным.
«Ключевым преимуществом нашего подхода является использование химерных сеток. Оно позволяет учитывать сложную геометрию границ раздела пластов, что существенно повышает точность геологического моделирования, — пояснила Алена Фаворская, ведущий научный сотрудник лаборатории прикладной вычислительной геофизики МФТИ. — Они позволяют нам сочетать высокую точность моделирования сложных геологических структур с высокой эффективностью вычислений, что критически важно для обработки огромных объемов данных, получаемых при сейсморазведке. Разработанные алгоритмы особенно эффективны для задач, связанных с моделированием топографии земной поверхности или границ раздела различных геологических пород. Результаты фундаментальных исследований, полученные в данной работе, нацелены в первую очередь на оптимизацию добычи трудноизвлекаемых запасов углеводородов, когда над месторождением есть экранирующие сейсмический отклик геологические слои сложной формы либо в шельфовой зоне».
Разработанный подход открывает новые перспективы в высокоточной сейсмической разведке, позволяя существенно сократить время и ресурсы, необходимые для обработки данных. Это особенно актуально в условиях истощения легкодоступных месторождений углеводородов и роста требований к точности геологоразведочных работ. Результаты исследования имеют широкое применение и могут быть использованы не только в сейсморазведке, но и в других областях, таких как ультразвуковой неразрушающий контроль. Дальнейшие исследования будут направлены на оптимизацию алгоритмов и их применение к более сложным геологическим задачам с целью сокращения времени и затрат на геологоразведку.
Исследование выполнено при поддержке Российского научного фонда (грант № 20-71-10028). Исследования велись в лаборатории прикладной вычислительной геофизики МФТИ и на кафедрах вычислительной физики и информатики и вычислительной математики МФТИ.
