Молодой ученый из МФТИ Игорь Блинов разработал новый метод расчета квантовых характеристик квазикристаллов — материалов, за которые в 2011 году дали Нобелевскую премию по химии. Метод физика основан на использовании специального математического приема, который переносит квазикристалл в многомерное пространство.
Квазикристаллы отличаются от простых кристаллов тем, что в них нет бесконечной и всюду одинаковой кристаллической решетки. Если, к примеру, кристалл поваренной соли можно разделить на одинаковые микроскопические кубики, то вот с квазикристаллами так поступить нельзя. Для того, чтобы представить их атомную структуру, стоит взглянуть на изображение:
Расположение атомов в квазикристалле непериодично. Примером бесконечной, но при этом непериодической структуры является мозаика Пенроуза, которая тоже непериодична и при этом составлена из абсолютно одинаковых элементов:
.png "Пример мозаики Пенроуза")
Мозаика Пенроуза. Обратите внимание, что такая мозаика непериодична.
Хотя квазикристаллы встречаются в некоторых природных минералах, экспериментально открыты они были только в 1982 году, в 1985 вышла посвященная одному из них статья. А вот теоретическая модель, объясняющая природу квазикристаллов, была предложена чуть раньше студентами МФТИ (позднее — сотрудниками ИТФ им. Л.Д.Ландау) Павлом Калугиным, Алексеем Китаевым и Леонидом Левитовым. Интерес ученых к квазикристаллам обусловлен не только их эффектной атомной структурой, но также рядом если не уникальных, то по крайней мере необычных свойств этих материалов. Механически они занимают промежуточное положение между аморфными стеклами и кристаллами, а их электрическое сопротивление с понижением температуры увеличивается вместо того, чтобы уменьшаться. Для того, чтобы лучше понять возможности квазикристаллов, исследователям важно знать то, как ведут себя внутри них электроны, знать электронную структуру квазикристалла. Электронная структура описывает распределение частиц внутри изучаемого объекта, и для ее расчетов необходимы квантовые методы: электроны ведут себя как квантовые объекты.
Поскольку электроны — квантовые частицы, то ученые говорят не просто о распределении частиц, положении точек в пространстве, а об электронной плотности. Для наглядности можно считать, что электроны «размазаны» вокруг атомов, а не сфокусированы в виде крошечных шариков.
Поведение квантовых объектов, как правило, описывается уравнением Шредингера. Это уравнение было предложено Эрвином Шредингером еще в 1926 году, оно позволяет рассчитать динамику квантовой системы в заданном электрическом поле… но у него есть свои ограничения. В частности, любое изменение взаимного положения электронов приводит к изменению электрического поля, а уравнение этого не учитывает. Оно позволяет хорошо описать атом водорода с постоянным полем вокруг положительно заряженного протона, но даже для атомов побольше, с несколькими электронами, уравнение Шредингера просто так решить не получается.
Чтобы моделировать сложные системы из многих электронов, учеными предложено множество методов. Все они так или иначе упрощают конфигурацию электрического поля — например, игнорируя часть электронов в атоме или пренебрегая сдвигами ядер атомов в кристаллической решетке. Если считать, что кристаллическая решетка всюду одинакова, то расчеты электронной структуры кристалла можно сразу упростить рассмотрением периодического поля; с квазикристаллом такой прием не срабатывает.
Метод, описанный Игорем Блиновым на страницах журнала Scientific Reports, позволяет обойтись без длительных и потому дорогих численных расчетов. Физик предложил модифицировать уравнение Шредингера таким образом, что на его решение можно накладывать периодические начальные условия — проще говоря, рассматривать квазикристалл как многомерную структуру, соответствующую «нормальному» в большем числе измерений (заметим, что такая идея впервые была предложена еще в упомянутой выше публикации 1985 года под заголовком «Al0,86Mn0,14: шестимерный кристалл»).
Ученый обратился к тому факту, что квазипериодическая функция, описывающая распределение зарядов в пространстве, может быть при помощи определенного математического приема преобразована в периодическую, но большей размерности (от большего числа переменных). Игорь Блинов приводит в своей статье следующий пример: квазипериодическая одномерная функция f(x) = sin(x) + cos(√(2x)) может быть преобразована в периодическую, если ввести дополнительную переменную y = √(2x).
Иллюстрация из статьи Игоря Блинова. Превращение апериодической функции в периодическую за счет ввода дополнительной переменной. (Sci Rep. 2015; 5: 11492.)
Аналогичный прием, если его использовать к функции, описывающей распределение электронов в квазикристалле, позволяет получить периодическую картину и упростить уравнение Шредингера, сделав намного удобнее расчеты электронной конфигурации перспективных материалов.
Сам Игорь Блинов комментирует свой результат следующим образом: «Работа, опубликованная в Sci. Rep., делает процедуру нахождения электронной конфигурации в квазикристаллах более наглядной и более точной, чем некоторые из уже существующих методов ее определения — такие, как метод кристаллических апроксимантов. Описанный метод, вероятно, поможет в будущем предсказывать структуру и свойства квазипериодических материалов — то, что для кристаллов умеет и успешно делает лаборатория компьютерного дизайна в МФТИ под руководством Артема Оганова».
