В истории исследования сверхпроводимости 1957 год занимает особое место. В феврале Джон Бардин, Леон Купер и Роберт Шриффер отправили в журнал Physical Review короткое письмо «Микроскопическая теория сверхпроводимости», за которым в июле последовала рукопись 20-страничной статьи «Теория сверхпроводимости». Эти работы по-новому описывали физические механизмы исчезновения электрического сопротивления у некоторых металлов при охлаждении до гелиевых температур, открытого нидерландским физиком Хейке Камерлинг Оннесом 8 апреля 1911 года.
Теория БКШ (то есть Бардина—Купера—Шриффера), как ее стали называть, была бы невозможна без ключевых экспериментальных результатов 1950 года. Американские физики Чарльз Рейнольдс и Бернард Серин и их соотечественник Эмануэль Максвелл обнаружили, что у изотопов ртути температура перехода в сверхпроводящее состояние изменяется обратно пропорционально квадратному корню атомного веса. Отсюда следовало, что сверхпроводимость скорее всего возникает при участии колебаний кристаллической решетки, частоты которых подчиняются такой же зависимости. Это явление было названо изотопическим эффектом.
В том же году профессор теоретической физики Ливерпульского университета Герберт Фрёлих (к слову, в 1930-х он работал в ленинградском Физтехе вместе с Яковом Френкелем) предсказал изотопический эффект в своей модели сверхпроводимости, созданной незадолго до того, как до него дошли новости из лабораторий.
Теория Фрёлиха, которая объясняла сверхпроводимость взаимодействием отдельных электронов с ионами кристалличекой решетки, оказалась короткоживущей, но подкрепила уже имевшиеся подозрения, что сверхпроводящее состояние каким-то образом возникает на стыке между решеткой и электронами проводимости. В этом смысле можно сказать, что путь к ее созданию начался 75 лет назад — вполне юбилейная дата.
Эта юбилейность оттеняется тем, что как раз в 1950 году сверхпроводимостью занялся Джон Бардин, уже известный участием в изобретении транзистора. Он думал о ней еще в предвоенные годы, но потом надолго переключился на другие проекты. После открытия изотопического эффекта Бардин решил вернуться к этой проблеме.
А поскольку руководство Белловских лабораторий, где он тогда работал, ожидало от него исследований по микроэлектронике, Бардин решил возобновить академическую карьеру и в 1951 году перешел в Иллинойсский университет. Его первая модель, разработанная совместно с Дэвидом Пайнсом, подобно модели Фрёлиха учитывала взаимодействие между электронами и колебаниями кристаллической решетки, но в целом была не слишком удачной.
Однако в 1955 году Бардин привлек себе в помощь блестящих молодых теоретиков Леона Купера и Роберта Шриффера. Результатом их сотрудничества стала теория БКШ.
Что, как и почему
Начало ей положил Купер. В 1956 году он показал, что вблизи абсолютного нуля электроны проводимости в металле способны формировать пары, с равными и противоположно направленными импульсами. Для этого нужно, чтобы энергетические уровни электронов лежали (а) вблизи поверхности Ферми и (б) чтобы между ними существовало эффективное притяжение, пусть сколь угодно слабое. Поскольку в результате такого спаривания полная энергия системы уменьшается, оно обладает определенным запасом прочности и само по себе не разрушается.
Второе условие совершенно естественно, смысл же первого надо пояснить. В квантовой механике существует теорема, согласно которой две притягивающиеся частицы могут образовать связанную пару в трехмерном пространстве, только если притяжение между ними оказывается достаточно сильным. Однако если обе частицы находятся вблизи поверхности Ферми, их движение из трехмерного превращается в двумерное, и эта теорема не работает. Более того, в двумерном пространстве спаривание происходит и при сколь угодно малом притяжении.
Точности ради надо отметить, что электроны в металле взаимодействуют друг с другом и потому образуют не Ферми-газ, а Ферми-жидкость. Однако в нормальных металлах вблизи поверхности Ферми она проявляет себя как газ почти свободных квазичастиц, которые имеют тот же заряд, что и электроны, но отличаются от них законом дисперсии (то есть характером зависимости энергии от импульса). Именно такие квазичастицы образуют пары по механизму Купера.
Теперь вернемся к куперовскому притяжению. Казалось бы, откуда ему взяться, коль скоро квазичастичные возбуждения электронной Ферми-жидкости отталкиваются по закону Кулона? Как догадался еще Фрёлих, его может создать кристаллическая решетка, состоящая из положительных ионов. Поскольку движущийся квазиэлектрон притягивает близлежащие ионы, они смещаются в его сторону и создают локальный избыток положительного заряда. Поляризованный участок решетки, в свою очередь, может притянуть другой квазиэлектрон, который также сдвинется по направлению к первому. Конечно, для этого необходимо, чтобы опосредованное решеткой притяжение квазичастиц преобладало над кулоновским отталкиванием. Это объясняет, почему лучшие проводники, такие как серебро и медь, не превращаются в сверхпроводники: их электроны проводимости слишком слабо взаимодействуют с ионами решетки.
В теории твердого тела упругие колебания кристаллической решетки описываются как движение фононов, квантов звуковых волн. В этих терминах спаривание квазичастиц (или, для простоты, электронов) возникает благодаря обмену фононами, или, как говорят физики, электрон-фононному взаимодействию.
Можно сказать, что электроны притягиваются, испуская и поглощая фононы. Именно этот механизм заложен в основу теории БКШ. Однако исходная модель Купера имеет более общий характер, поскольку указывает на возможность спаривания фермионов под воздействием любого эффективного притяжения, вовсе не обязательно обусловленного обменом фононами.
Такие альтернативные механизмы сверхпроводимости, по всей вероятности, существуют, но их реальность еще окончательно не доказана.
Нормальное электрическое сопротивление возникает из-за рассеивания носителей тока на тепловых колебаниях решетки (фононах), а также на атомах примесей и иных неоднородностях. Если ток переносят отдельные электроны (напомню еще раз, что на самом деле это квазичастичные возбуждения электронной ферми-жидкости!), то сопротивление не может быть нулевым, поскольку они рассеиваются при любых энергиях. Иное дело, если в этом качестве выступают куперовские пары — несущие, естественно, двойной электронный заряд.
Спаренный электрон может претерпеть рассеяние, только разорвав связь с партнером. Поэтому для разрушения сверхпроводимости средняя скорость, которую набирают электроны, должна превысить определенный предел, пропорциональный энергии связи электронных пар.
Эта предельная скорость соответствует критической плотности тока. Парные связи также должны разрываться при взаимодействии с фононами достаточно высоких энергий, что и происходит при повышении температуры выше критической. Ниже этой границы куперовские пары при встрече с фононами чаще всего не рвутся, а просто переходят в новые состояния.
Теория БКШ позволила переосмыслить физический смысл критической температуры Тс. В принципе она вводит два температурных параметра: температуру начала образования куперовских пар Т1 и температуру Т2, при которой происходит взаимное упорядочивание фаз волновых функций, описывающих эти пары. В теории БКШ Т2 больше Т1, и потому сверхпроводимость наступает при охлаждении до Т1. Однако в принципе возможна и обратная ситуация, когда сверхпроводимость наступает при температуре Т2. В общем случае Тс = min (T1, T2).
Новая теория объяснила такое важнейшее свойство простых сверхпроводников (сейчас их называют сверхпроводниками первого рода), как полное объемное вытеснение внешнего магнитного поля (иначе говоря, идеальный диамагнетизм), обнаруженное в 1933 году немецкими физиками Вальтером Мейсснером и Робертом Оксенфельдом. Поскольку спаренные квазичастицы обладают противоположными импульсами (а также, за некоторыми исключениями, и противоположными спинами), в магнитном поле на них действуют силы, направленные в разные стороны и потому работающие на разрыв пары. Если напряженность поля невелика, сверхпроводнику энергетически выгодно вытолкнуть его на поверхность и удержать куперовские пары в связанном состоянии. Хотя такое выталкивание требует расхода энергии, он с лихвой компенсируется ее экономией на сохранении куперовских пар. Средняя дистанция между спаренными электронами примерно равна 10–5 см и потому в тысячи раз превышает межатомные расстояния.
Еще одно уточнение. Бардин, Купер и Шриффер в своей работе просто постулировали наличие эффективного притяжения между электронами вблизи поверхности Ферми, хотя, конечно, они имели в виду электрон-фононное взаимодействие. При этом они использовали максимально упрощенный гамильтониан этого взаимодействия, выраженный через ступенчатую функцию. Более глубокий анализ связей между электронами и фононами вскоре выполнили другие теоретики, в частности будущий действительный член РАН Герасим Элиашберг.
В 1960 году он предложил новую версию микроскопической теории сверхпроводимости с более реалистичным гамильтонианом. Она описывает металлы с сильным элекрон-фононным взаимодействием, например, свинец и олово. Теория БКШ, напротив, справедлива для металлов с относительно слабым взаимодействием этого типа, например, алюминия.
Напоследок кратко упомяну важнейший вывод теории БКШ о наличии энергетической щели в спектре куперовских квазичастиц вблизи поверхности Ферми. Ее ширина определяет масштаб энергии, необходимой для разрыва пары, и по численной величине близка постоянной Больцмана, умноженной на температуру перехода в сверхпроводящее состояние.
Свет в конце квантовых туннелей
В 1962 году 22-летний аспирант Кембриджского университета Брайан Джозефсон сделал на базе теории БКШ удивительный прогноз. Он стал результатом переосмысления процесса квантового туннелирования куперовских пар между двумя сверхпроводниками, разделенными тонким электроизолирующим слоем, создающим между ними потенциальный барьер. Чтобы понять смысл открытого Джозефсоном эффекта, стоит сначала обратиться к истории.
Квантовое туннелирование давно считается одним из самых парадоксальных (а потому контринтуитивных) проявлений квантовомеханических закономерностей. Вряд ли о нем надо подробно рассказывать аудитории журнала «За науку»: это стандартная часть курсов квантовой механики. Поэтому напомню, что благодаря туннелированию частицы могут преодолевать потенциальные барьеры или покидать потенциальные ямы даже в тех случаях, когда их кинетическая энергия уступает высоте барьера или глубине ямы. Выражаясь иначе, туннелирующие частицы временно обретают отрицательную кинетическую энергию, которая и позволяет им двигаться столь странным образом. В классической физике такие движения в принципе невозможны.
Туннелирование частиц через потенциальные барьеры непосредственно вытекает из определенного класса решений уравнения Шредингера. Первым это в 1927 году понял немецкий физик Фридрих Хунд, который опубликовал свои результаты в двух статьях в журнале Zeitschrift für Physik. Годом позже более реалистичный анализ процессов туннелирования выполнили соотечественник Хунда Лотар Нордгейм и британский физик Ральф Фаулер. В том же году приехавший в научную командировку в Геттингенский университет Георгий Гамов и, независимо от него, принстонские физики Рональд Гёрни и Эдвард Кондон объяснили на базе теории квантового туннелирования процессы ядерного альфа-распада. В 1932 году Джордж Уленбек с успехом применил эту теорию в молекулярной физике.
Сегодня может показаться странным, что экспериментальные исследования процессов электронного туннелирования в кристаллических структурах пришлось ждать целую четверть века. В 1957 году японский физик Лео Эсаки впервые наблюдал туннелирование электронов через изолирующий контакт между двумя полупроводниками с электронной и дырочной проводимостью. Это открытие послужило созданию туннельного диода, которое стало важным вкладом в прогресс твердотельной электроники.
Результаты Эсаки подвигли переехавшего в США норвежца Айвара Джайевера на попытку обнаружить туннельный эффект с участием сверхпроводников. В качестве «контактеров» он выбрал тонкие пленки алюминия и свинца, разделенные барьером из оксида алюминия. В первой серии его экспериментов температура подбиралась так, что свинец переходил в сверхпроводящее состояние, в то время как алюминий оставался нормальным металлом.
Джайевер обнаружил и измерил туннелирующий ток, возникающий под действием внешнего потенциала. Охладив установку сильнее и сделав сверхпроводником алюминий, он обнаружил пиковое значение туннельного тока. Его величина зависела от соотношения энергетических щелей обоих сверхпроводников, что соответствовало предсказанию Джона Бардина. Этот эффект впервые позволил непосредственно измерять величины таких щелей, что было очень важным достижением.
Два эффекта Джозефсона
В экспериментах Джайевера туннелирование осуществлялось за счет движения «одиночных», неспаренных электронов (поэтому выше критических температур для обоих металлов система работала как простой резистор). Однако через оксидный барьер могут туннелировать и куперовские пары, причем с парадоксальными результатами.
Триггером же для Джозефсона стала одна из лекций, которые в 1962 году читал в Кембридже приехавший из США на саббатический год крупнейший специалист по физике твердого тела, лауреат Нобелевской премии 1977 года Филип Андерсон, который в 1958 году, через год после Бардина, Купера и Фишера опубликовал свою версию микроскопической теории сверхпроводимости.
Джозефсон показал, что в определенных условиях туннелирование куперовских пар между сверхпроводниками с разными химическими потенциалами порождает постоянный электрический ток, который течет в отсутствие внешнего электрического поля. При наложении небольшого внешнего напряжения ток начинает осциллировать, то есть превращается в переменный. Первый эффект принято называть стационарным, второй нестационарным. Андерсон по возвращении в США сразу организовал (вместе с английским физиком Джоном Роуэллом) проверку стационарного эффекта Джозефсона — тот был подтвержден уже в 1963 году. В последующие годы другие физики детектировали как переменные токи нестационарного эффекта, так и их электромагнитное излучение.
Джозефсон представил свою теорию с помощью математического аппарата квантовой теории поля, модифицированного для описания твердых тел (B. D. Josephson, Possible New Effects in Superconductive Tunneling, Physics Letters, 1, №7, p. 251). Позднее появились ее переформулировки, например, на языке полуфеноменологической теории сверхпроводимости Ландау и Гинзбурга.
В любом случае главная причина джозефсоновских эффектов состоит в том, что куперовская пара по сути является волновым пакетом протяженностью порядка 104 ангстрем. Если толщина изолирующего слоя между сверхпроводниками не превышает 10–100 ангстрем, пары могут проходить через него, сохраняя свою целостность.
В результате возникают сверхпроводящие токи, которые не вызывают падения напряжения на джозефсоновском контакте. Однако такая ситуация сохраняется лишь до поры до времени. Усиление тока посредством внешнего потенциала подпитывает куперовские пары энергией, которую они должны излучить в виде фотонов. Поскольку постоянный ток стационарного эффекта не может быть источником такого излучения, он делается переменным.
В заключение — чуть-чуть элементарной математики. Каждому сверхпроводнику отвечает некоторая волновая функция, которую можно записать как произведение ее модуля (равного квадратному корню из плотности куперовских пар) на фазовый множитель. Так что имеем две волновые функции Ψ1 = (n1)1/2eiθ1 и Ψ2 = (n2)1/2eiθ2. Здесь n1 и n2 обозначают плотности куперовских пар в первом и втором сверхпроводнике, а θ1 и θ2 соответствуют их фазам. Назовем символом Δθ разность этих фаз (то есть, θ1 – θ2), которая устанавливается при согласованном туннелировании многих пар.
Из теории Джозефсона следует, что сила стационарного тока через контакт между сверхпроводниками пропорциональна синусу этой разности: I = Ic sin Δθ. Здесь Ic так называемый критический ток, который в реальных экспериментах лежит в диапазоне от наноампера до миллиампера. Эту формулу принято называть первым уравнением Джозефсона.
Описание нестационарного эффекта чуть сложнее. При наложении внешнего потенциала U разность фаз начинает зависеть от времени по правилу (d/dt)Δθ = 2eU/ħ. Здесь e — заряд электрона (следовательно, 2e — заряд куперовской пары), и ħ — усеченная постоянная Планка. Это второе уравнение Джозефсона приводит к формуле для силы тока при нестационарном эффекте: I(t) = Icsin ωt. Она как раз и означает, что в этом случае сила тока зависит от времени по периодическому закону. Его частота ω равна 2eU/ħ и для реальных экспериментов лежит в микроволновой области.
Физический механизм нестационарного эффекта Джозефсона связан со способностью куперовских пар туннелировать между двумя стационарными состояниями по обе стороны барьера, чьи энергии различны благодаря приложенному напряжению. Поэтому они перемещаются в ту и другую сторону, подобно качанию маятника. Это и приводит к возникновению переменного электрического тока.
Этот ток рождает электромагнитное излучение, которое уносит часть энергии электронов. Выражаясь точнее, при разности потенциалов на джозефсоновском контакте в сверхпроводящей электронной жидкости возникают квантованные вихри, пересекающие его в обоих направлениях. Лабораторные приборы регистрируют эти вихри как переменный ток.
Конечно, это только самая общая схема нестационарного эффекта Джозефсона, но суть дела она передает. Поскольку внешнее напряжение и частоту тока можно измерить с очень высокой точностью, этот эффект позволяет вычислить отношение заряда электрона к постоянной Планка в высшей степени прецизионно.
Эффект Джозефсона имеет и другие важные применения. В частности, на его основе работают высокочувствительные сверхпроводящие магнитометры.
Отнюдь не все физики приняли выводы Джозефсона с тем же энтузиазмом, что Андерсон. Например, Джон Бардин, на теорию которого опирался Джозефсон, их поначалу отверг. Правда, несогласие он выразил без особого шума, в добавленном при корректуре последнем параграфе статьи «Туннелирование в сверхпроводниках», опубликованной в августе 1962 года в журнале Physical Review Letters. Он считал, что спаривание электронов не может распространяться через барьер, и потому объявил теорию Джозефсона ошибочной.
Уже в следующем месяце они лично скрестили шпаги на одном из заседаний Восьмой международной конференции по физике низких температур в лондонском Колледже королевы Марии. В ходе вполне спокойной дискуссии Бардин критиковал теорию Джозефсона, а тот успешно опровергал его возражения.
Через 10 лет после этого, в 1972 году, теория БКШ принесла своим авторам Нобелевскую премию. У нее есть серьезное ограничение — не позволяла предсказать свойства новых сверхпроводников.
Американский физик Бернд Маттиас, который в 1950–70-е годы вместе с коллегами открыл сотни сверхпроводящих материалов, остроумно заметил, что теория БКШ tells us everything but finds us nothing (воздержусь от перевода, ибо оригинал уж слишком хорош!). Поэтому дальнейшие успехи физики сверхпроводимости основывались на новых экспериментальных открытиях, которые затем осмыслялись теоретиками. Этот процесс до сих пор не закончен.
А Джозефсон приехал в Стокгольм сразу же после Бардина, в 1973 году — он получил половину Нобелевской премии по физике за тот самый эффект, который описал в 1962-м. Вторую половину в равных долях дали Джайеверу и Эсаки.
Спор с Бардином никак не помешал Джозефсону получить Нобелевскую премию, скорее составил ему неплохую рекламу. Для шведских академических арбитров решающим фактором стали экспериментальные подтверждения джозефсоновской теории, которые, как уже говорилось, были получены всего за два-три года. Конец — делу венец, и для Джозефсона он оказался вполне счастливым. В 1974 году он стал в Кембридже профессором физики и оставался им 23 года. Так чего же боле?
