Вычислимое, невычислимое и начала квантовой кибернетики

Разбираем статью Ричарда Фейнмана о моделировании физики на компьютерах

[Это авторская версия материала, который в печатном журнале опубликован в более коротком варианте]

Сорок пять лет назад, в мае 1981 года в Массачусетском технологическом институте (MIT) на конференции «Физика вычислений» собрались 60 человек, которые «верили, что физика и вычисления взаимно зависимы на фундаментальном уровне». Одним — и, пожалуй, наиболее известным — из этих 60 был физик-теоретик Ричард Фейнман.

Расшифровка его выступления под названием «Симуляция физики на компьютерах» (Simulating Physics with Computers) позже была опубликована в International Journal of Theoretical Physics и на сегодняшний день процитирована в рецензируемых изданиях свыше 2 тысяч раз, причем более 80% цитат относятся к последнему десятилетию. Попытаемся разобраться, что тогда хотел сказать Фейнман и почему современные исследователи все чаще обращаются к этой работе.

Некоторые классические работы настолько мифологизированы в своей области, что цитируют их чуть ли не на автомате, а ученые, слыша о них, просто понимающе кивают. В этой рубрике мы перечитываем великие научные статьи. Что было в сложившемся мифе изначально, а что привнесено многократными упоминаниями и пересказами? О чем именно писал автор, какие озарения привели к появлению работы и какое влияние она оказала на дальнейшее развитие области — все это разбираем в тексте, а комментарии ученого из соответствующей области помогают взглянуть на статью с точки зрения сегодняшней науки.

Работу Ричарда Фейнмана «Симуляция физики на компьютерах», которая, по мнению многих, запустила исследования квантовых компьютеров, помогает разбирать старший научный сотрудник лаборатории искусственных квантовых систем МФТИ Глеб Федоров.

Глеб Федоров: Этот текст — транскрипция устного доклада Ричарда Фейнмана на конференции «Физика вычислений», который он делал, когда ему было почти 63 года. По собственному опыту могу сказать, что доклад на конференции может быть не таким строгим, какой могла бы быть печатная продуманная работа. Поэтому материал имеет местами поэтический, а местами пророческий характер, и относиться к нему надо с осторожностью, но и с почтением.

Лекции Фейнмана, как и «весь его интерес в этой области», по собственному признанию ученого, были вдохновлены дискуссиями с одним из организаторов конференции, специалистом по компьютерным наукам Эдвардом Фредкином. На момент конференции Фредкин и Фейнман — давние знакомые: они впервые встретились еще в 1961-м, а в середине 1970-х целый год обменивались опытом в Калтехе, где Фредкин проводил творческий отпуск, оставив прежнюю руководящую должность в MIT.

Фредкин был приверженцем радикальной концепции «цифровой физики» и считал, что физическая реальность может быть во всей полноте описана компьютерной программой. О разговорах между Фредкиным и Фейнманом на эту тему сегодня известно лишь в общих чертах: Фейнман, безусловно, ценил широту мышления своего коллеги и видел в беседах с ним большой интерес, но сам занимал скорее скептическую позицию по отношению к компьютерным вычислениям.

В 1980 году Фредкин решил провести конференцию, которая объединила бы инноваторов из физики и науки о вычислениях в общей дискуссии, и сразу же пригласил Фейнмана, своего давнего собеседника, выступить с лекцией о связи этих двух областей. Последний поначалу отказался, заявив, что «физика — это про вероятность и случайность, тогда как целью науки о компьютерных вычислениях в течение последних 50 лет было прямо противоположное — строить надежные и предсказуемые машины». Фредкин не стал настаивать и предложил Фейнману самостоятельно выбрать тему, лишь бы тот приехал — здесь была одновременно и дружеская уступка, и стратегический ход организатора: имя Фейнмана должно было привлечь на конференцию других крупных специалистов. 

Но позже скепсис Фейнмана сменился на живой интерес к теме. Ученый передумал и посвятил свою речь именно той теме, которую изначально предложил ему Фредкин.

Что за компьютеры, какая физика и при чем здесь симуляции

Проблема, которая увлекла и убедила Фейнмана все-таки сделать доклад, в самой общей формулировке звучит примерно так: можно ли на компьютере с дискретной логикой точно смоделировать реальные физические процессы? И как любой настоящий ученый, он первым делом договаривается о терминах. В заголовке у Фейнмана три понятия: физика, компьютер и симуляция.

Говоря о физике, Фейнман подчеркивает, что характер физических законов в современной картине мира принципиально квантовый, и сразу дает понять, что главный вопрос, который его интересует, связан именно с моделированием квантовых процессов. Второй важный аспект — неполнота наших знаний о физике: если бы все физические законы были в точности известны, то никакой фундаментальной значимости за симуляциями не стояло бы. Ученый весьма оптимистичен: он допускает, что роль симуляций как раз в том, чтобы извлекать (или хотя бы обоснованно надеяться извлечь) из них новое знание о физической реальности, воспринимая симуляцию как контролируемую копию реального эксперимента.

Что касается компьютеров, то к началу 1980-х теория компьютерных вычислений уже достигла того уровня абстракции, который позволял думать о компьютере вообще: об универсальном компьютере, не конкретизируя его конструкции. К этому универсальному компьютеру Фейнман имеет лишь одно требование — исключить нелокальные связи, то есть оставить взаимодействия только между соседними частями компьютера. Вычислительная машина в представлении Фейнмана должна быть устроена наподобие того, как работают клеточные автоматы, весьма популярные в те годы (во многом благодаря игре «Жизнь» Джона Конвея, придуманной десятилетием ранее), и здесь явно прослеживается влияние Фредкина: такой взгляд очень хорошо вписывается в представления последнего об устройстве мира.

Наконец, автор выделяет класс симуляций, о котором пойдет речь. Термин сам по себе имеет широкое значение, но далеко не все его смыслы увлекают Фейнмана — ученый хочет сфокусироваться только на тех симуляциях, в которых «компьютер будет вести себя в точности так же, как и природа», оставляя за кадром прочие, приближенные симуляции — такие как, например, численные алгоритмы решения дифференциальных уравнений.

Поэтому более аккуратная формулировка центрального вопроса доклада будет такой: можно ли соорудить универсальный компьютер с локальными связями, который в точности воспроизводил бы своим поведением реальные (а значит, квантовые) физические процессы и таким образом позволял бы — хотя бы потенциально — изучать природу этих процессов, а не просто любоваться симуляцией?

Чтобы ответить на этот вопрос, Фейнман обращается к трем ключевым понятиям, лежащим в основе современной физической картины мира: пространству, времени и вероятности (раз картина мира квантово-физическая, значит, вероятностная). Универсальная симуляция должна отражать все три эти неотъемлемые стороны физической реальности при ограниченных ресурсах, и из этого соображения можно вывести требования к универсальному компьютеру: сказать, каким он должен быть, а каким быть не может. Фейнман выводит эти требования и сравнивает «обычные» симуляторы на основе классических вычислений с гипотетическими компьютерами принципиально другого, квантового строения, после чего приходит к своему ключевому выводу о том, каким должен быть универсальный симулятор квантовой физической реальности.

Симуляция пространства-времени

Начинает Фейнман с концепции дискретного времени: если уж искать универсальный компьютер на основе логических операций, без дискретности никак не обойтись. Здесь докладчика совсем не удовлетворяет привычный взгляд на моделирование времени, когда компьютер переходит из состояния в состояние, это, выражаясь словами Фейнмана, всего лишь имитация, а не симуляция. Компьютер при таком положении дел лишь «пользуется» внешним по отношению к себе, природным временем, внедряя его в симуляцию, а не симулирует время сам.

Разумеется, нельзя разрешать в симуляции пользоваться тем, что хочется моделировать, иначе рецепт сводится к тому, чтобы ставить натурные опыты и брать саму физическую систему в качестве ее же симуляции. Так что для по-настоящему универсального симулятора природы нужен принципиально иной взгляд на время.

Фейнман предлагает заимствовать известную концепцию из теории относительности — смотреть на мир как на четырехмерное пространство-время, на набор дискретных точек-событий из четырех компонент: одной временно॑й и трех пространственных, и на основе этого построить правила для искомого компьютера, чтобы тот уже не оперировал во времени в привычном смысле.

С одной стороны, немедленно признается ученый, это просто переизобретение давно известных клеточных автоматов. Привычные классические соображения о локальности и причинности взаимодействий позволяют, двигаясь пошагово вдоль временно॑го направления из прошлого в будущее, слой за слоем рассчитать состояния ячеек на такой сетке: состояние текущей ячейки должно быть функцией от состояний ее пространственных соседей, причем только из прошлого. 

Но с другой стороны, если уж отказываться от классической непрерывности, то зачем продолжать верить в классические локальность и причинность? Правила (они же функции), по которым связаны состояния ячеек на такой сетке, вполне могут оказаться более сложными, если того требует устройство природы: быть может, на состояния текущей ячейки в действительности влияют состояния, более поздние по времени. И универсальный компьютер должен уметь решать уравнения с такими нетривиальными связями-функциями. 

Это и задает первое природное ограничение на универсальный компьютер: он заведомо не может существовать (даже в дискретном пространстве-времени), если продиктованные природой функциональные связи между ячейками дискретного пространства-времени математически неразрешимы. Но здесь, отмечает Фейнман, классические представления о физике (кроме непрерывности) скорее внушают оптимизм: локальность и причинность делают уравнения как раз простыми и разрешимыми.

Симуляция вероятностей

Вслед за пространством и временем, которые, судя по всему, не накладывают очевидных ограничений на устройство универсального компьютера, Фейнман обращается к симуляции вероятностных явлений. 

Квантовый на фундаментальном уровне мир следует вероятностным, а не детерминированным законам (по крайней мере, так кажется на основе опытов — а лучшей информации о физической реальности взять неоткуда). Значит, универсальный компьютер должен уметь как-то описывать вероятностные явления, не нарушая оговоренных правил логической структуры.

Фейнман предлагает начать с первого, что приходит в голову: заставить компьютер вычислять непосредственно вероятности, которые определяют природный процесс. Но на этом пути возникают сразу две проблемы.

Меньшая из них — дискретизация вероятности, которая, вообще-то, может принимать любые значения от нуля до единицы (и это не имеет прямого отношения к вопросу о непрерывности собственно физических величин). Цифровое устройство с Б битами не сможет иметь дело с вероятностями меньшими, чем 2^–Б,— событиям с вероятностями ниже этой автоматически придется приписывать нулевые вероятности, несколько уклоняясь от нашей договоренности описывать природу в точности. Но на практике это допустимо, поскольку в любом мыслимом эксперименте едва ли произойдут события с такими крошечными вероятностями, на описание которых нам не хватило бы нескольких тысяч битов, с точки зрения здравого смысла такое приближение оправдано.

Но есть и другое, более существенное ограничение. В реальности существуют целые ансамбли физических частиц, которые не просто заполняют четырехмерное пространство-время (пусть даже дискретизированное), но и взаимодействуют друг с другом — и почти всегда взаимодействия и есть то, что требуется изучать. Получается, что в каждый момент времени все пространственные положения частиц взаимозависимы, и искомая вероятность — функция от полной конфигурации системы, в которой заданы положения всех частиц и момент времени. 

Тогда полное описание системы требует вычислить вероятности каждой конфигурации, иначе компьютер не будет описывать все возможности, допустимые природой. Масштаб проблемы Фейнман иллюстрирует на простейшем примере системы из Ч частиц, расположенных в пространстве из П ячеек. Тогда в каждый дискретный момент времени нужно вычислить П^Ч чисел — по П возможных положений на каждую частицу. Допустим, что изучаемая система на крупном масштабе однородна (а это вполне естественный частный случай), тогда число частиц в ней пропорционально ее объему. Теперь если увеличить объем системы в N > 1 раз, то потребуется вычислить, по сравнению с прежним случаем, в (N × П)^N × Ч / П^Ч = (N^N × П^N–1)^Ч раз больше чисел. Не нужно быть продвинутым программистом, чтобы смутиться от множителя N^N, который здесь возникает. 

При такой постановке задачи универсальный компьютер где-то в своей памяти должен сохранить все эти числа, описывающие вероятности всевозможных конфигураций. Сам он при этом, как и вся остальная природа, сделан из дискретных кусочков с ограниченным ресурсом памяти — получается, размер компьютера будет раздуваться существенно нелинейно с размером физической системы. Если на описание двух частиц в двух элементарных ячейках достаточно, скажем, совсем крошечного вычислительного устройства объемом в один кубический миллиметр, то вполне скромная по масштабам химии или ядерной физики симуляция 23 частиц в 23 ячейках уже потребовала бы компьютера объемом впятеро больше нашей планеты.

Это, конечно, грубо нарушает фейнмановское «нулевое правило» о линейном масштабировании и практически ставит крест на нашей наивной попытке вычислять вероятности всех конфигураций.

Глеб Федоров: Тезис о невычислимости реальных систем, как вероятностных классических, так и квантовых, сегодня нисколько не утратил своей силы, в том смысле что математически строго с удвоением их размера (числа составляющих частиц) для точного расчета необходимо возводить как минимум в квадрат объем необходимой памяти классического вычислителя. Такой быстрый рост необходимых ресурсов делает невозможным расчет ab initio на масштабах сотен частиц и более в обозримом и необозримом будущем. Обычно размер реальной интересной системы (например, число электронов) уже такой, что при плохой асимптотике (то есть, при быстро растущем с N масштабном множителе.— «ЗН») ее обсчитать будет нельзя. Известны не ab initio методы расчета, но они опираются на предположения, которые нельзя формально обосновать (например, последний успех AlphaFold).

Тут Фейнман предлагает обходной путь: можно заставить сам компьютер вести себя вероятностным образом, сделать результат его работы недетерминированно зависящим от данных на входе. И это дает некоторую свободу: такой компьютер уже не должен запоминать и хранить всевозможные конфигурации одновременно, вместо этого он может выдавать лишь одно случайное число, отвечающее той или иной конфигурации, так, чтобы вероятность появления этого числа совпадала с вероятностью реализации конфигурации в реальной системе. Конечно, в отдельно взятом вычислении такой компьютер будет выдавать совершенно непредсказуемые результаты, это может смущать, но в текущей квантовой парадигме природа тоже не воспроизводит свои «ответы» от опыта к опыту! Так что если уж организовывать симуляцию природы, такое непредсказуемое поведение не проблема, а даже преимущество.

Этот подход решает сразу обе проблемы наивного метода с одновременным вычислением и записью всех вероятностей. Во-первых, величина вероятностей теперь вообще не ставит никаких ограничений на битовое представление чисел — то, что выдает компьютер, теперь уже просто номер конфигурации, а не ее вероятность, то есть автоматически дискретная величина. В этом варианте аналогичный мысленный эксперимент с увеличением размера системы в N раз даст увеличение числа битов в log₂ (N × П)^N × Ч / log₂ П^Ч = N × (log_П(N) + 1) раз (не будем здесь утруждать себя случаями, когда П = 1 или П^Ч не является целой степенью двойки — на этот случай всегда можно предусмотреть один резервный бит, что не повлияет на масштабируемость).

Рост тоже не строго линейный, как хотелось бы в идеале, но уже и не экспоненциальный и даже не квадратичный: лидирующее слагаемое при больших N здесь N × log_П(N), а логарифмическая функция увеличивается медленнее своего аргумента. Миллиметровое устройство из прошлого примера при переходе к задаче на 23 частицы уже раздуется не до размеров Земли, а всего в 52 раза относительно первоначального объема. А фантастический компьютер планетарных размеров с таким масштабированием сможет оперировать уже вполне макроскопическими числами — порядка 10²⁸ частиц в таком же количестве ячеек — примерно столько свободных электронов на поверхности куска типичного металла размерами метр на метр. Аналогичное линейно масштабируемое устройство дало бы порядка 10³⁰ частиц. Как видно, выигрыш при переходе от N × log_П(N) к N уже не такой впечатляющий, по сравнению с разницей между N × log_П(N) и N^N.

Вывод понятен: компьютер, в который вероятность заложена на уровне сборки, намного эффективнее компьютера, который вычисляет вероятности. И поскольку универсальный компьютер никак не может позволить себе обсчитывать все конфигурации, то он, возможно, должен сам быть квантово-вероятностным, либо как минимум имитировать квантовое вероятностное поведение за счет неоднозначности результата при фиксированных начальных данных.

Далее Фейнман отдельно рассматривает эти две возможности: фундаментально вероятностное поведение компьютера как устройства из квантовых элементов, живущих по квантовым законам (что уже несколько выходит за рамки чисто логических операций в их привычном понимании) и некую имитацию такого поведения на «обычном», классическом устройстве за счет неоднозначного ответа.

Быть квантовым…

Что если, спрашивает Фейнман, мы попробуем собрать квантовый компьютер? 

Сегодня такой вопрос звучит наивно, но нужно оговориться: ученый произносит эти слова на самой-самой заре, в предрассветных сумерках квантовых вычислений, когда об этом думают всего несколько человек в мире, а до первых опытных прототипов — более десятилетия. Даже рынок персональных компьютеров в тот момент был еще максимально далек от современного.

Практически все устройства в мире не совместимы друг с другом ни по комплектующим, ни по программному обеспечению, до выхода первого компьютера с открытой архитектурой оставалось еще три месяца. Но мысль теоретика бежала вперед, оставляя далеко позади все мыслимые инженерные возможности того дня — в свете новой увлекательной идеи для него меркнут эти фоновые «мелочи».

Глеб Федоров: Провести подобные рассуждения в то время и провести их сейчас, когда уже известны многие ответы, две на порядок разные по сложности задачи; первое мог сделать только гениальный человек с огромным опытом. То же касается и другой работы Фейнмана 1985 года «Квантово-механические компьютеры» (Quantum Mechanical Computers) в журнале Optics News, где он рассуждает «о битах, записанных на одном атоме вместо современных 10¹¹ атомов», и значительно более старой, но не менее пророческой и смежной по смыслу лекции 1959 года «Внизу много места» (There’s Plenty of Room at the Bottom) на встрече Американского физического общества в Калтехе. 

Фейнман совсем не вдается в детали: что именно за квантовые компьютеры нужны и как их построить (ведь на повестке дня все-таки универсальный компьютер, не-важно-как-сделанный), но очерчивает ключевые принципы квантового симулятора. 

В качестве иллюстрации он ссылается на уже известную и неплохо разработанную к тому времени теоретическую идею: эквивалентность между описанием физических полей в пространстве-времени (в дискретной картине мира) и моделью устройства вещества, используемой в физике твердого тела. 

Несмотря на довольно внушительную сложность как теории поля, так и физики твердого тела, понять эту хитрую дуальность между ними на поверхностном уровне совсем несложно. 

Поле в классическом непрерывном мире — это функция, которая на входе принимает четыре аргумента — три координаты и момент времени, и выдает в качестве ответа число (или набор чисел, если поле не скалярное) — значение поля (или его компонент). Так можно описать, например, поле температуры воздуха в комнате — если включить обогреватель, значения поля начнут со временем увеличиваться сначала возле него, а потом и по всему объему комнаты. Если мы начинаем верить в дискретизированный вариант мироустройства, то и значения аргументов, и значения самого поля перестают быть какими угодно, становятся дискретными. Получается, полное описание поля сводится к вопросу о том, какое из допустимых дискретных вариантов его значения реализуется в каждой элементарной ячейке пространства-времени.

В квантовом описании твердого тела картина очень похожая: атомы рассажены по узлам кристаллической решетки (почти буквальный аналог пространственных ячеек, хотя дискретность пространства на фундаментальном уровне уже не требуется), и каждый из атомов находится в некотором квантовом состоянии, которое можно охарактеризовать дискретным набором чисел (своего рода аналог значений дискретизированного поля). 

Хотя первоначально феномены имели с виду мало общего — непрерывная функция с четырьмя аргументами против организованной структуры твердого тела — и там, и тут в дискретной картине мира получились дискретные числа на дискретной решетке, возникла настоящая математическая дуальность!  Получается, что очень разные с виду квантовые системы могут имитировать друг друга. 

Эта иллюстрация вдохновляет Фейнмана выдвинуть очень смелое утверждение об универсальном квантовом симуляторе: «С помощью подходящего класса квантовых устройств можно имитировать любую квантовую систему, включая физический мир». Но признается, что пока не слышал о том, была ли такая теория взаимно заменяемых квантовых систем уже разработана. 

Он предлагает своим слушателям направление для размышлений: для начала определить среди квантовых систем классы, для которых эквивалентность действительно имеет место, а затем уже из этих классов выделить особенного представителя, взаимно заменяемого с любой другой квантовой системой — это и будет универсальным компьютером. «Думаю, что ответить на этот вопрос и найти нужный класс довольно легко, но я просто еще не сделал этого», — подытоживает Фейнман.

Более того, ученый приводит свою догадку, выдвигая в качестве универсального квантового симулятора набор расположенных по ячейкам дискретного пространства-времени квантово-механических систем с двумя уровнями — фактически, кубитов — хотя до появления этого слова, опять же, на момент лекции еще больше десятилетия.

Математически строгий (и положительный!) ответ на «довольно легкую» задачу Фейнмана появился только спустя 15 лет. Его нашел Сет Ллойд — аннотация к его статье в Science весьма лаконична: «Показано, что предположение Фейнмана 1982 года о том, что квантовые компьютеры можно запрограммировать для симуляции любой локальной физической системы, верно» («Feynman’s 1982 conjecture, that quantum computers can be programmed to simulate any local quantum system, is shown to be correct»).

Вот так, всего в двух страницах печатного текста и не говоря почти ничего конкретного и математически строгого, Фейнман во многом предвосхищает развитие целой индустрии квантовых вычислений на годы вперед. 

Но остается еще второй сценарий — с классическими устройствами.

…или казаться квантовым?

Что если не пытаться построить квантовый компьютер, а просто сымитировать вероятностное поведение квантового мира с помощью классических вероятностных систем? Здесь Фейнман переключается с догадок на строгую конкретику и сразу информирует: если не менять радикально физические законы, которые лежат в основе квантовой механики, то это невозможно. Совсем.

Все дело в проблеме скрытых параметров и связанных с ними неравенствах Белла — строгой математической иллюстрации, которая показывает фундаментальное различие между вероятностями в квантовой механике и в классической физике (и которая была уже давно и широко известна на момент доклада).

Дело в том, что в квантовой механике измерения — особый тип взаимодействия измерительного прибора с измеряемой системой. Сам факт измерения обязательно некоторым образом влияет на состояние измеряемой системы. Вследствие этого возникают «парные», сопряженные величины, которые невозможно измерять одновременно — если попытаться определить одну из них, состояние системы изменяется так, что стирается информация о другой.

Если думать в тех же терминах ячеек и дискретных состояний, что и раньше, и пытаться описать это классическим вероятностным образом, то сопряженность некоторых величин неизбежно приводит к серьезным проблемам. Фейнман предлагает простую иллюстрацию: систему в одной пространственно-временной ячейке с двумя сопряженными квантовыми характеристиками А и Б, каждая из которых может принимать по два возможных значения — пусть для примера это будут +1 и –1 (например, это могут быть знаки проекций спина электрона на две перпендикулярные друг другу координатные оси, но какой именно это квантовый параметр — не принципиально).

Если смотреть на задачу глазами классической дискретной вероятностной модели, то следовало бы задать вероятностную меру P, которая сопоставляет всевозможным событиям вероятности от 0 до 1.

Для этого достаточно ввести всего четыре числа:

P({A = –1, Б = –1}), P({A = +1, Б = –1}), P({A = –1, Б = +1}) и P({A = +1, Б = +1}), 

каждое из которых описывало бы вероятность соответствующего события, указанного в фигурных скобках, и которые в сумме дают единицу (так что только три из четырех независимы, четвертое можно восстановить из условия нормировки). Но проблема в том, что сами такие события в физической реальности, которую предлагает квантовая механика, никогда не реализуются на практике! 

Поскольку А и Б — сопряженные, то нет такого опыта, по результатам которого можно было бы одновременно сказать, что А было положительно, а Б — отрицательно в данной пространственно-временной ячейке. Но с точки зрения математического описания это пока не провал, а просто запрет на непосредственный подсчет вероятностей некоторых событий из частоты их возникновения в опытах. Можно попробовать определить искомые четыре числа, которые определяют вероятностную меру, косвенно — например делая измерения над отдельными частями системы: измеряя A и Б по очереди в большом ансамбле одинаковых систем. Так можно измерить, например, величины:

P({A = –1}) = P({A = –1, Б = –1}) + P({A = –1, Б = +1}),

P({Б = –1}) = P({A = –1, Б = –1}) + P({A = +1, Б = –1}).

Есть и еще один тип допустимых измерений: можно узнать, имеют ли А и Б одинаковые или противоположные друг другу значения, иными словами, измерить произведение А × Б (для примера со спином электрона это дает знак его проекции на третью, перпендикулярную первым двум пространственную ось).

Например:

P({A × Б = –1}) = P({A = –1, Б = +1}) + P({A = +1, Б = –1}).

Теперь может показаться, что мы перехитрили запреты квантовой механики и можем восстановить все нужные нам вероятности, пользуясь только разрешенными измерениями — скажем, взяв приведенные значения вероятностей P({A = –1}), P({Б = –1}) и P({A × Б = –1}) из опыта, можно сказать, что:

P({A = +1, Б = +1}) = 1 – ½ × ( P({A = –1}) + P({Б = –1}) + P({A × Б = –1}) )

— вполне интуитивно понятный результат. В самом деле, чтобы А и Б были оба положительными, нам надо вычесть из единицы вероятности тех событий, в которых хотя бы одно из них отрицательно: это как раз будут события {A = –1}, {Б = –1} и {A × Б = –1}. Но каждое из этих событий имеет по одной общей элементарной конфигурации с другими, так что мы удвоили вклад каждой несовместимой с {A = +1, Б = +1} конфигурации, и нужно разделить вычитаемое пополам.

Но именно тут квантовая механика вносит в наши рассуждения кое-что нездоровое. Оказывается, что для некоторых квантовых систем сумма P({A = –1}) + P({Б = –1}) + P({A × Б = –1}) может быть больше двойки, что автоматически дает отрицательную вероятность P({A = +1, Б = +1})!

Подобные системы действительно можно изготовить, и, как подчеркивает Фейнман, это уже сделано на момент лекции (на самом деле решающие эксперименты провели позже, однако интуиция Фейнмана снова впереди — известных опытов при всех их технических несовершенствах было достаточно, чтобы убедить ученого).

Этот квантовый наблюдаемый результат никак не вяжется с классической вероятностной моделью. Никакие разумные трюки с классическими вероятностями не позволяют разрешить или обойти эту проблему: квантовая механика в такой ситуации просто запрещает думать о событии {A = +1, Б = +1} как о пересечении события {A = +1} с событием {Б = +1} — таких событий просто не бывает! Здесь, впрочем, следует оговориться: указанная проблема вовсе не означает, что классические системы ни при каких условиях не могут изображать квантовые (и даже квантово-запутанные, как в рассмотренном нами примере), что несколько ослабляет аргумент Фейнмана.

Глеб Федоров: На самом деле, сама по себе запутанность не является барьером для классического расчета. Например, теорема Готсмана — Книлла утверждает существование широкого класса запутанных состояний, поддающихся классическому расчету. Сэмплировать из таких распределений возможно и имитировать их также возможно без использования квантовых компьютеров.

Однако действительно универсальный компьютер должен уметь моделировать все, в том числе такие системы, в которых есть описанная проблема.

Отсюда вывод: квантовые компьютеры, похоже, незаменимы, потому что хранить информацию обо всех конфигурациях квантовой системы абсолютно неразумно с точки зрения ресурсов, а научить классическую систему мимикрировать под квантовую в общем случае невозможно, это не получается сделать даже для простейшей ситуации с двумя сопряженными дискретными величинами, не говоря уже об остальных, куда менее «игрушечных» физических системах.

Взгляд из настоящего

Сегодня, 45 лет спустя, мы уже можем отрефлексировать идеи Фейнмана в их столкновении с практикой, взглянув на область квантовых технологий. Хотя полноценных квантовых компьютеров пока нет — тут интуицию ученого реальность пока не догнала, многое из «предсказанного» уже реализовано.

Глеб Федоров: Полноценных квантовых компьютеров пока не существует. Существуют очень удачные прототипы, которые, я уверен, поразили бы до глубины души и основателей квантовой физики, таких как Эрвин Шредингер, и противников квантовой теории, таких как Альберт Эйнштейн. Именно фантастическому прогрессу в области управления состояниями одиночных квантовых объектов (элементарных частиц, фотонов, сложных атомов, сверхпроводниковых контуров) мы обязаны массовым ажиотажем вокруг квантовых технологий. Этот скачок случился, по меркам науки, совсем недавно — за последние 10–15 лет. Также здесь я должен отметить и потрясающее развитие теоретической базы в процессе планирования и проведения экспериментов. Все продолжается в духе того, о чем писал Фейнман. Он уловил и сформулировал некоторые объективные вечные истины, от которых уже нельзя отказаться. 

С другой стороны, вряд ли можно говорить, что Фейнману удалось обрисовать наше настоящее так уж детально — хотя едва ли он к этому стремился.

Глеб Федоров: Размышления в докладе даны крупными мазками. Главный фактор, который остается за кадром,— экспериментальные методы и декогеренция, коррекция ошибок. На практике, к сожалению, мы встречаемся с шумами, которые приводят к необходимости дополнительного увеличения размера квантового регистра (выражаясь словами Фейнмана, к нелинейному росту размера компьютера с пространственно-временными размерами моделируемой системы.— «ЗН») при использовании кодов коррекции ошибок. Кроме того, некоторые алгоритмы квантовых вычислений, такие как алгоритм Харроу—Хассидима—Ллойда, будучи полиномиально сложными, все равно требуют решения экспоненциально сложной вспомогательной задачи.

Сегодня, ориентируясь на интуицию Фейнмана и реальное положение дел, можно попробовать экстраполировать этот образ в будущее. Конечно, любое подражание Фейнману — дело максимально неблагодарное, но что точно можно взять на вооружение, так это умение трезво и глубоко обдумать предложение коллеги, даже если оно поначалу вызывает внутренний протест и кажется ерундой.

Глеб Федоров: Думаю, что никому не следует пытаться предсказать и тем более контролировать ход научного прогресса — ни один человек, институт или государство не способно подчинить этот процесс. Невозможно составить план конкретных научных открытий на пять лет вперед. Развивается наука там, где получается, открывается, обнаруживается что-то удивительное в условиях сопутствующего развития экспериментального оборудования и ресурсного обеспечения — квантовые вычисления один из лучших примеров этого в современной физике. И уж точно не следует пытаться собирать плоды до того, как они созрели.

Область здорова и будет продолжать жить, проходить очередные «пузыри» популярности и спады разочарования. От переднего края физики никуда нельзя уйти и нельзя его сдвинуть, не приложив длительных систематических усилий. Получится ли человечеству во всей полноте реализовать провидческий замысел великого человека — вопрос ближайших десятилетий.