Ученые из МФТИ и Сколтеха разработали аналитический метод построения расчетной сетки, которая в точности повторяет профиль железнодорожного рельса любой формы. Такая сетка позволяет считать распространение ультразвука, испущенного дефектоскопом, в трехмерной модели рельса на обычном персональном компьютере за приемлемое время. Работа опубликована в Lobachevskii Journal of Mathematics. Исследование поддержано Российским научным фондом, грант №25-49-01074.
Протяженность железнодорожных путей в России — 122 тысяч км. Каждый километр нужно регулярно проверять на трещины, расслоения и выкрашивания: незамеченный дефект рельса оборачивается аварией.
Основной инструмент такой проверки — ультразвук. Дефектоскоп посылает в металл упругую волну и слушает эхо: отражение от внутренней трещины приходит в другое время и выглядит иначе, чем отражение от нижней грани рельса.
Чтобы понимать, как именно выглядит отклик от дефекта конкретного типа и размера, инженерам нужны компьютерные модели — цифровые двойники рельса, в которых волну можно запустить численно и посмотреть, что с ней произойдет.
Здесь и начинаются сложности. Рельс — объект с маленьким поперечным сечением, сложной формой этого сечения и огромной длиной. Шаг расчетной сетки приходится выбирать по самому мелкому элементу геометрии, по частоте источника и по размеру искомого дефекта, а считать при этом надо протяженный участок пути.
Часть исследователей решает задачу методом конечных элементов: профиль рисуют в одной программе, сетку строят в другой, расчет ведут в третьей. Для конечно-разностных схем, к которым относится сеточно-характеристический метод, такой конвейер не подходит — им нужен свой способ учесть криволинейную границу.
Один из таких способов — наложенные, или химерные, сетки. Вдоль границы сложной формы строится узкая мелкая криволинейная сетка, повторяющая контур объекта, а всю остальную область занимает простая фоновая декартова сетка из прямоугольных ячеек. Значения полей между двумя сетками передаются интерполяцией.
Название отсылает к химере из греческой мифологии: расчетная область собрана из разнородных частей. Химерные сетки уже показали себя в газовой динамике и аэродинамике, в задачах вычислительной гидродинамики, а в последние годы — и в расчетах упругих волн: при моделировании рельефа земной поверхности, пор в геологическом керне, ультразвукового контроля композитов и рельсов.
У подхода есть слабое место. Внутри криволинейной сетки расчет ведется в преобразованных координатах — она распрямляется в декартову сетку с единичными ячейками. От того, насколько сильно искажены ячейки при этом преобразовании, напрямую зависит шаг по времени, допустимый условием устойчивости. Растянутые и повернутые ячейки заставляют дробить шаг и резко увеличивают стоимость счета.
Построить хорошую криволинейную сетку вдоль границы рельса тяжело именно из-за его профиля: головка, шейка и подошва соединяются участками с очень разной кривизной. Проверенные ранее универсальные приемы, например откладывание слоев по перпендикулярам к поверхности, на рельсе оказались неэффективными.
Исследователи из МФТИ и Сколтеха поставили задачу иначе: строить сетку не численно, а аналитически, прямо по набору точек контура, выгруженному из CAD-модели рельса.
Контур размечается 16 опорными точками, поставленными там, где кривизна меняется резко. Между ними появляются 15 сегментов, и каждому назначается свой тип: горизонтальная прямая, наклонная прямая, вертикальная прямая, участок интерполяции по точкам CAD-модели, дуга вписанной окружности или интерполяция со сжатием в верхнем сегменте.
Дальше каждый следующий слой сетки строится сдвигом предыдущего на заданный шаг, причем для каждого сегмента выписан свой вектор сдвига. Формулы ученые вывели так, чтобы в них не входили ни прямые, ни обратные тригонометрические функции: это убирает связанную с ними потерю точности и ускоряет генерацию сетки.
Минимальный радиус кривизны у рассмотренного профиля — 2 мм. Отсюда следует жесткое требование: чтобы геометрия в этом месте была описана верно, шаг сетки должен быть около 0,5 мм независимо от частоты ультразвука.
При крупном шаге два соседних сегмента начинают пересекаться. На этот случай в алгоритм заложен запасной вариант — вместо трех сегментов подставляется дуга вписанной окружности, а переход между двумя вариантами сглаживается взвешенным усреднением, чтобы сетка не менялась скачком.
Качество получившейся сетки измерялось эффективным шагом, вычисленным через якобиан преобразования координат. Максимальный эффективный шаг практически совпал с шагом фоновой декартовой сетки, средний составил 0,67–0,75 от него, а минимальный — 0,29–0,33.
Именно минимум определяет шаг по времени. Для фоновой сетки с шагом 0,5 мм он получился равным 24,03 нс, для 0,06 мм — 3,233 нс, для 0,001 мм — 0,0544 нс. Расчет показал и границу применимости: начиная с шага 0,06 мм алгоритм выходит на предел своей эффективности, дальше сложная геометрия рельса уже не дает выигрыша.
Алена Фаворская, ведущий научный сотрудник лаборатории прикладной вычислительной геофизики МФТИ, пояснила суть работы так: «Сложность здесь не в том, чтобы построить сетку по контуру рельса, а в том, чтобы она не обрушила шаг по времени. Каждый внутренний слой сетки укорачивается вдоль своей криволинейной длины, причем неравномерно, ячейки поворачиваются, и эффективный шаг падает. Мы вывели формулы сдвига так, чтобы это падение было минимальным, и заодно избавились от тригонометрии — расчет координат стал и точнее, и быстрее».
Работоспособность сетки проверили трехмерным расчетом сеточно-характеристическим методом. Рельс задавали как углеродистую сталь со скоростью продольной волны 6000 м/с, скоростью поперечной волны 3208 м/с и плотностью 7850 кг/м³, а источник давления радиусом 5 мм работал на частоте 0,3 МГц.
Волновые картины на моменты 7,8 мкс, 18,7 мкс и 31,2 мкс показали полный набор ожидаемых явлений: объемные продольные и поперечные волны, обменные и многократные волны, поверхностные волны Рэлея. На низких частотах, когда длина волны сравнима с размерами сечения рельса, в расчете появились и нормальные волны лэмбовского типа. Результаты согласуются с ранее выполненными численными экспериментами.
Отличие подхода от прежних в том, что сетка строится не универсальным генератором из САПР-пакета, а аналитическим алгоритмом, заточенным одновременно под класс объектов и под конкретную вычислительную схему. Целевой величиной при выводе формул был не внешний вид сетки, а допустимый шаг интегрирования по времени.
Практический выигрыш прямой: смена профиля рельса перестает быть отдельным исследовательским проектом. Достаточно подать на вход новый набор точек из CAD-модели, и сетка построится автоматически, а трехмерный расчет ультразвука в рельсе становится посильным для персонального компьютера.
Алена Фаворская рассказала и о планах дальнейших исследований ученых: «Построение сетки — это фундамент, без которого не поставить главный вопрос: как выглядит волна, отраженная от дефекта? Следующий шаг — внести в модель типовые дефекты рельса и довести до эксперимента методы непрерывной диагностики пути на нормальных упругих волнах. Рельсы в разных странах отличаются прежде всего формой, поэтому мы сразу закладываем возможность считать и российские, и индийские профили одним и тем же алгоритмом».
Исследование поддержано Российским научным фондом (грант № 25-49-01074).
Научная статья: A. V. Favorskaya, A. A. Kozhemyachenko, N. I. Nasonov, V. I. Golubev. Generation of Overset Chimera Meshes for Calculating Ultrasonic Waves in a Rail of Arbitrary Profile // Lobachevskii Journal of Mathematics, 2026, Vol. 47, No. 3, pp. 1120–1132. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080225615462
