Группа ученых из МФТИ и их иностранных коллег нашла способ измерить «расстояние» в сети, где каждая связь может объединять произвольное число элементов. Их решение опубликовал журнал Communications Physics.
Сложные сети окружают нас повсюду: нейронные связи в мозге, цитирование научных статей, торговые цепочки, социальные группы. ченые описывали такие системы с помощью классических графов — математических объектов, где каждое ребро связывает строго две вершины. Это крайне эффективная модель для описания многих явлений, но зачастую недостаточная.
В реальной жизни научная статья касается сразу нескольких областей знания, а одна деловая сделка может объединять целый консорциум компаний.
Для таких ситуаций математики придумали гиперграфы: структуры, в которых одно гиперребро может соединять сразу любое число вершин. Но вопрос о том, как правильно измерять расстояния внутри взвешенных гиперграфов — то есть таких, где каждой связи приписано некоторое числовое значение ее «веса»,— оставался открытым. Неправильно определенное расстояние означает потерю информации, а значит, неверные выводы о структуре реальных систем.
Ключевая проблема состоит в том, что обычный способ работы с гиперграфами — так называемая кликовая проекция — попросту разбивает каждое гиперребро на множество обычных попарных связей. Это все равно что описывать совместную научную статью пяти авторов как десять пар двусторонних сотрудничеств. Информация о том, что пятеро работали именно как команда, при этом теряется.
Одна из ключевых сложностей при попытке учета информации такого рода в метрике расстояния состоит в том чтобы одновременно с этим не нарушить фундаментальные математические свойства расстояния, такие как неравенство треугольника.
Авторы предложили общую меру расстояния для взвешенных гиперграфов, которая одновременно учитывает и структуру гиперребер (сколько вершин они объединяют, как они пересекаются), и вес каждой связи. Мера строится через определение локального расстояния между гиперребрами с использованием их весов, а затем «распространяет» это понятие на пары узлов через оптимальный путь.
Принципиально важно: при вырождении гиперграфа в обычный граф (все гиперребра — только попарные) новая мера совпадает с классическим взвешенным расстоянием.
Для проверки концепции ученые применили ее к нескольким реальным системам. Главный пример, который они использовали,— сеть препринтов репозитория arXiv, где узлы — научные дисциплины, а гиперребра соответствуют статьям, затрагивающим сразу несколько областей. Вес гиперребра в таком гиперграфе связывают с так называемым когнитивным расстоянием — мерой концептуальной удаленности между научными полями. Это позволяет «измерить», насколько далеки друг от друга, скажем, квантовая физика и экономическая теория в пространстве научных идей.
Почти любая система с групповыми взаимодействиями — биологические сети белок—белок, социальные сообщества, логистические цепочки, финансовые экосистемы — может быть описана гиперграфом.
До сих пор исследователи вынужденно «упрощали» такие системы до обычных графов, теряя информацию о коллективных связях. Теперь у них есть математически корректный инструмент, который ничего не теряет.
Результаты исследования показали: когда вес гиперребер несет содержательную нагрузку — как в случае когнитивного расстояния между дисциплинами, использование полной гиперграфовой меры дает существенно иную картину расстояний, чем кликовая проекция.
В частности, некоторые дисциплины, казавшиеся близкими при стандартном подходе, оказались значительно более удаленными в пространстве идей — и наоборот. Это не просто формальный математический факт: это означает, что рекомендательные системы, алгоритмы кластеризации научного сообщества и инструменты обнаружения трендов, работающие поверх таких данных, могут давать принципиально иные ответы, если перейти на гиперграфовую метрику.
Новый инструмент открывает возможности для точного анализа систем там, где коллективные взаимодействия — не исключение, а правило: от задач биоинформатики до моделирования распространения информации в социальных сетях и оптимизации транспортных маршрутов. Для области машинного обучения на графах это особенно важно: современные граф-нейронные сети активно развиваются в сторону гиперграфовых архитектур, и математически обоснованная метрика расстояния станет для них незаменимым строительным блоком.
Екатерина Васильева, старший научный сотрудник лаборатории продвинутой комбинаторики и сетевых приложений МФТИ, так прокомментировала работу: «Взвешенные гиперграфы повсеместно используются для моделирования реальных систем, но до сих пор не существовало строго определенной метрики расстояния, которая корректно учитывала бы как веса, так и особенности топологии связей. Наша работа закрывает этот пробел. Особенно увлекательно было применить меру к научным данным arXiv и буквально увидеть, как выглядит карта когнитивных расстояний между дисциплинами — результат местами оказался весьма неожиданным».
Научная статья: C. I. del Genio, E. Vasilyeva, L. Tupikina et al. Distances in weighted higher-order networks. Communications Physics (2026). https://doi.org/10.1038/s42005-026-02592-w
