На прошлой неделе в Филадельфии открылся Международный математический конгресс, и 23 июля там вручили главную награду профессии — Филдсовскую премию (ее вручают раз в четыре года математикам возраста до 40 лет). Лауреатов четверо: Хун Ван, Юй Дэн, Яков Цимерман и Джон Пэрдон.
Simons Foundation
Официальные формулировки написаны так, будто их задача — чтобы никто не дочитал: «гармонический анализ и геометрическая теория меры», «о-минимальность как фундаментальный метод арифметической геометрии». А жаль. За ними прячутся интересные истории, которые грех не рассказать.
Иголка
В 1917 году японский математик Соити Какея задал вопрос, похожий на развлечение с последней парты школы. На плоскости лежит иголка — идеальная, бесконечно тонкая. Ее можно как угодно двигать и вертеть; в конце она должна развернуться на все 360 градусов. Какую минимальную площадь она заметет?
Первое, что приходит в голову,— крутануть вокруг центра, получится круг. Можно вдвое сэкономить, если гонять иголку по дельтоиде, треугольничку с вогнутыми сторонами. Сам Какея, судя по всему, считал, что это и есть предел: не угадал.
Абрам Безикович, ученик Маркова, уехавший из Петрограда в Англию, показал, что предела нет вовсе: площадь удается сделать меньше любого наперед заданного числа. Не нулем, но сколь угодно близким к нулю числом.
Дальше — больше. Если отказаться от непрерывного движения и спросить просто про множество, в котором иголка лежит во всех направлениях сразу, то площадь такого множества может быть ровно нулевой. Тогда вопрос ставят тоньше: хорошо, площадь ноль, но насколько это множество «тощее» по-настоящему?
Гипотеза Какеи утверждала: не тощее вовсе — его хаусдорфова размерность, та самая фрактальная размерность, которая умеет быть дробной, обязана равняться размерности объемлющего пространства. На плоскости это доказали еще в семидесятых. А в трехмерном пространстве задача продержалась полвека и обросла репутацией одной из главных нерешенных проблем анализа: на ней, как на первом этаже, стоит целая башня гипотез о преобразовании Фурье и о волновых уравнениях. Рухнул бы фундамент — посыпалось бы все здание.
В феврале 2025-го Хун Ван и Джошуа Заль выложили препринт на 127 страниц: в размерности 3 гипотеза верна. Теренс Тао в своем блоге назвал это впечатляющим прорывом, Quanta Magazine — доказательством из тех, что случаются раз в столетие.
Хун Ван 35 лет, она профессор Нью-Йоркского университета и французского Института высших научных исследований (IHES), а теперь еще и третья женщина с медалью Филдса за все 90 лет существования награды — после Марьям Мирзахани (2014) и Марины Вязовской (2022). Ван никогда не выступала на математических олимпиадах, и это не помешало ей. Девочка из Гуйлиня сдала обычный вступительный экзамен Гаокао, поступила на матфак Пекинского университета, доучивалась во Франции, диссертацию писала в MIT у Ларри Гута. В недавнем интервью Quanta она призналась, что до сих пор уверена: чтобы быть наравне с коллегами, ей надо работать больше них. Коллеги, судя по всему, придерживаются противоположного мнения.
Курица и Больцман
Юй Дэн поступил на тот же матфак Пекинского университета в тот же 2007 год, что и Ван, только через олимпиады: золото Международной математической олимпиады он получил в 2006-м. Дальше их маршруты разошлись: Дэн перевелся в MIT, аспирантуру окончил в Принстоне, сейчас он профессор в Чикаго. Его медаль — за шестую проблему Гильберта.
В 1900 году Гильберт предложил аксиоматизировать физику: выводить законы макромира из микроскопических первопринципов так же строго, как Евклид выводил геометрию из аксиом. Кусок этой программы, аксиоматику случайности, закрыл Колмогоров еще в 1933-м. Оставалось сделать самое сложное и самое главное: честно вывести уравнение Больцмана из ньютоновской механики огромного числа сталкивающихся молекул. А из Больцмана — уже всю гидродинамику, Эйлера и Навье—Стокса.
Дэн вместе с Захером Хани и Сяо Ма смогли полностью решить эту задачу. В пределе Больцмана—Грэда, когда число молекул растет к бесконечности, а их диаметр падает к нулю, они вывели уравнение Больцмана из обратимой динамики упругих твердых шариков — на всем интервале времени, где у уравнения существует решение, а следом получили и уравнения гидродинамики.
Обратимая механика на входе, необратимая термодинамика на выходе: стрела времени не постулируется, а сама возникает при предельном переходе, и старый спор, начатый еще возражением Лошмидта Больцману, был полностью решен и закрыт.
Крайне неожиданным оказалось то, что эргодическая гипотеза, с которой начинается любой курс статфизики (и без выполнения которой статистика не работает), здесь не понадобилась вообще. Формально математики осторожничают и говорят об «узкой формулировке» шестой проблемы — Гильберт-то замахивался на всю физику разом. Но это ровно тот случай, когда узкая формулировка и была самой содержательной частью.
Очень необычным образом сам Дэн описывает рождение ключевой идеи своего исследования: 2021 год, лавка корейской жареной курицы в Провиденсе. Сидел, ел и придумал, как разрезать очень сложную задачу на посильные ему куски.
Ван и Дэн — первые лауреаты, выросшие и выучившиеся в материковом Китае: единственный китаец с медалью до них, Яу Шинтун в 1982-м, вырос в Гонконге.
Тостер, узлы и OpenAI
Яков Цимерман родился в Казани. Семья увезла его двухлетним сначала в Израиль, потом в Канаду; в математику, по его словам, он влюбился через дедушкину головоломку про сломанный тостер, жарящий хлеб только с одной стороны. Дальше — два золота IMO за сборную Канады, в 2004-м с абсолютными 42 из 42, поступил в университет в 16, бакалавриат окончил за два года. Медаль ему дали за то, что он принес в теорию чисел технику из математической логики — о-минимальность — и с ее помощью с соавторами доказал Андре—Оорта, простоявшую открытой 40 лет.
Великий математик Александр Гротендик в 1980-х годах мечтал о создании «послушной геометрии». Он хотел придумать такие правила игры, при которых мы могли бы изучать гладкие, красивые формы, а все «монстры» с бесконечными странностями оставались бы за бортом. Эту мечту и воплотила о-минимальность (буква «о» означает order, порядок).
Правило звучит так: любое множество на прямой должно состоять только из конечного числа точек и отрезков. Если вы вводите это строгое правило для 1D, оно автоматически «лечит» все старшие размерности — 2D, 3D и так далее. Если ваша система уравнений удовлетворяет правилу о-минимальности, то любые поверхности, объемы и многообразия, которые вы из них построите, будут «послушными». У них не будет бесконечного числа дырок, как у губки. Они не будут закручиваться в бесконечные спирали. У них всегда будет гладкая, понятная, «человеческая» структура.
Это правило можно использовать для доказательства различных теорем, что Яков и сделал. Его заслуги официально описывают так: cпособствовал развитию о-минимальности как важного метода исследования и участвовал в доказательстве нескольких ключевых гипотез.
На пресс-конференции свежеиспеченный лауреат объявил, что уходит в OpenAI заниматься безопасностью искусственного интеллекта. Мир меняется, сказал он, и профессия математика в нынешнем виде, по его мнению, долго не просуществует.
Дэн же, когда его спросили о том же, ответил спокойнее: он ждет, что ИИ будет математикам помогать, а не заменять их.
Джон Пэрдон из Стоуни-Брука — сын профессора математики и трехкратный чемпион Международной олимпиады по информатике — прославился еще студентом.
В 1983 году математик Громов задал вопрос об «искажении» узлов. Представьте узел из веревки и двух путешественников: муравей ползет между двумя точками по самой веревке, кузнечик прыгает напрямик. Искажение узла — худшее по всем парам точек отношение пути муравья к пути кузнечика; Громов спрашивал, всякий ли узел можно уложить в пространстве так, чтобы искажение не превышало сотни.
Пэрдон, студент Принстона, показал, что нет: торические узлы запутываются сколь угодно сильно. Доказательство, говорят, он придумал на прогулке по английскому парку, а его нынешний коллега Саймон Дональдсон уверяет, что текст читается за один присест.
Взрослая заслуга Пэрдона звучит суше, но весит больше: он подвел строгий фундамент под «виртуальные» подсчеты голоморфных кривых — конструкции, на которых держится изрядная часть современной симплектической геометрии и математической физики.
