Коллектив физиков-теоретиков из МФТИ обратился к одному из самых старых и упрямых сюжетов квантовой физики — парадоксу Клейна. Им удалось показать, что электрический ток, который сильное поле «выманивает» из пустоты, определяется тем, что именно называть частицами. Работа опубликована в журнале Physical Review D. Исследование поддержано Министерством науки и высшего образования Российской Федерации.
Современная физика давно отказалась от наивного образа вакуума как пустоты. Пустое на первый взгляд пространство — это бурлящее море квантовых полей, в котором постоянно возникают и тут же исчезают виртуальные пары частиц и античастиц. Поведение быстрого, релятивистского электрона описывает уравнение Дирака, и именно с ним связана давняя загадка. Еще в 1929 году Оскар Клейн обнаружил странность: когда релятивистский электрон встречает достаточно высокий и резкий потенциальный барьер, он, вопреки интуиции и в отличие от обычной, нерелятивистской частицы, не отражается, а проходит сквозь него, причем коэффициент прохождения формально получается отрицательным.
Эта область энергий, в которой привычная логика отказывает, и получила название «клейновской зоны». У парадокса есть и одночастичное разрешение: подходящим выбором волновой функции направление вероятностного тока удается сделать всюду естественным, а коэффициент прохождения — положительным. И все же наиболее физически прозрачную картину рисует многочастичный язык.
Сильное поле разрывает виртуальные пары на части: то, что в одночастичной картине выглядит как невозможно прошедший электрон, на деле есть рождение новой пары — электрона и позитрона. Поле как бы «пробивает» вакуум, и реальный электрический ток течет даже тогда, когда извне не подано ни одного заряда. Порог известен точно: работа, которую поле совершает на длине барьера, должна превысить удвоенную энергию покоя, то есть для ступеньки высотой V₀ и массы электрона m условие имеет вид V₀ > 2m (в единицах, где скорость света равна единице). Но за этой ясной картиной прячется глубокая трудность. В поле, которое существует вечно и заполняет все пространство, сами понятия «частица» и «античастица» становятся неоднозначными.
Физики из МФТИ поставили цель аккуратно вычислить этот ток с многочастичной точки зрения сразу в трех физически различных ситуациях. Чтобы не утонуть в технических деталях, они работали в упрощенной модели с одним пространственным и одним временным измерением: такая постановка сохраняет суть явления и делает выкладки обозримыми.
Поле они смоделировали предельно сосредоточенным. Квантованное поле электрона раскладывалось по точным решениям уравнения Дирака — так называемым модам. На основе этих мод строилось так называемое вакуумное состояние Фока, играющее роль «пустого» пространства.
Удобную опору для расчетов дала симметрия системы (CP-преобразование): движение электрона во внешнем поле эквивалентно движению позитрона в зеркально отраженном пространстве, в котором силы действуют в обратную сторону.
При одном естественном выборе основное состояние несет стандартный, известный из учебников ненулевой ток.
При другом существует состояние, в котором ток равен в точности нулю.
Чтобы устранить неоднозначность, ученые обратились к ситуациям с понятной точкой отсчета. Если поле включается в определенный момент времени начиная с обычного вакуума Минковского, то смысл слова «частица» закреплен еще до появления поля. Расчет тока в далеком будущем дал стандартное ненулевое значение.
Затем результат был обобщен на произвольный потенциал, плавно нарастающий от нуля с одной стороны до постоянного значения с другой: ток удалось выразить целиком через коэффициенты рассеяния. Наконец, для поля, включенного в момент −T и выключенного в момент +T, существуют четко определенные «начальный» и «конечный» вакуумы, и достаточно просто пересчитать число рожденных частиц — и снова получился тот же стандартный ток.
Владимир Лапушкин, студент Физтех-школы физики и исследований им. Ландау, так прокомментировал выводы исследования: «В вечном, бесконечном поле спор о том, “сколько” частиц рождается, во многом оказывается спором о словах: ответ зависит от того, как именно ввести понятие частицы. Мы показали это явно — есть состояние, в котором ток вовсе отсутствует, и есть состояние со стандартным током. Но стоит включить поле в определенный момент, и двусмысленность исчезает: вакуум до включения задает единственно верную точку отсчета, и все разумные способы расчета приводят к одному и тому же току».
Полученный ток не зависит от времени, но лишь потому, что система живет в бесконечном пространстве. Для конечного «ящика» рожденные электрон-позитронные пары постепенно заполняли бы доступные уровни энергии в клейновской зоне, и ток затухал бы по мере того, как система оседает в истинное основное состояние. Время такой релаксации растет вместе с размером ящика. Чтобы описать это затухание честно, нужно выйти за рамки упрощенной невзаимодействующей двумерной модели — к взаимодействующей теории в четырех измерениях. В такой модели частицы могут рассеиваться под углами и перераспределять энергию вплоть до равновесия.
Дамир Садеков, младший научный сотрудник лаборатории физики высоких энергий МФТИ, добавил: «Простая двумерная модель — это удобная лаборатория. Здесь хорошо видно, что роль начального состояния может быть критически важной, а это ровно та проблема, с которой мы сталкиваемся в космологии и в физике черных дыр, где нет очевидного “правильного” вакуума. Следующий шаг — перенести аккуратный счет во взаимодействующую четырехмерную теорию и связать его с экспериментами в сильных полях и с аналогами в графене».
Таким образом, работа предлагает не просто еще один способ получить знакомый ответ, а ясный рецепт: что именно нужно задать в задаче, чтобы вопрос о рожденных из вакуума частицах стал корректным. Дальнейшие шаги авторы видят в переходе к взаимодействующей четырехмерной теории, в описании релаксации тока в конечном объеме и в поиске экспериментальных аналогов— прежде всего в графене и других системах, где «вакуумом» служит заполненное электронами основное состояние.
Научная статья: E.T.Akhmedov, D.V.Diakonov, V.I.Lapushkin, D.I.Sadekov. Lessons from the Klein paradox. Physical Review D. V.113. 2026, 085016; DOI: https://doi.org/10.1103/1mb6-7hb4
