Исследователи из МФТИ с коллегами рассчитали аэродинамику орнитоптера — робоптицы, которая держится в воздухе за счет машущих крыльев. Моделирование показало, что при частоте взмахов 8 Гц даже плоское крыло нулевой толщины создает не сопротивление, а тягу, причем средняя подъемная сила остается такой же, как у неподвижной модели. Работа опубликована в журнале «Вестник ЮУрГУ. Серия „Математическое моделирование и программирование”». Исследование поддержано Министерством науки и высшего образования РФ и Российским научным фондом (№24-19-00420).
Подавляющее большинство современных беспилотников построено по самолетной или вертолетной схеме. У аппаратов, построенных по этим схемам, одинаковые недостатки: сильный шум, невысокая энергоэффективность и ограниченная маневренность.
Птицы всех этих недостатков лишены. Этим объясняется устойчивый интерес инженеров к орнитоптерам — летательным аппаратам, которые используют для своей работы механику движения крыльев птиц.
Крыло птицы одновременно опускается и поднимается, поворачивается вокруг собственной оси, складывается и меняет форму. Подобная динамика выходит далеко за область применимости традиционных аэродинамических методов расчета.
Чтобы построить хоть как-то работающие модели полета птиц, разработчики идут на значительные упрощения. Особенно сложно промоделировать подвижность границы обтекаемого тела. Чаще всего для этого берут метод погруженных границ или адаптацию сетки под новое положение крыла. Оба подхода приводят к тому, что законы сохранения выполняются лишь приближенно, что значительно ограничивает точность вычислений.
Исследователи из МФТИ и ЦНИИ РТК пошли другим путем и применили деформируемые расчетные сетки. Сетка не перестраивается заново, а растягивается и сжимается вместе с крылом, сохраняя постоянное число ячеек. В их подходе физические законы сохранения выполняются точно, а не приближенно.
Прототипом для математической модели послужила механическая модель орнитоптера, разработанная в МФТИ. Крылья в ней сделаны из непроницаемой ткани, натянутой на направляющие спицы, размах составляет 0,908 м.
Такая конструкция позволила заменить крылья в расчете поверхностями нулевой толщины, а корпус аппарата не рассматривать вовсе: в модели остались только плоскости крыльев и хвостового оперения.
Нулевая толщина заодно исключила эффект Кноллера—Бетса, при котором тягу создает сам колеблющийся профиль конечной толщины. Значит, любая тяга, полученная в расчете, обязана исключительно кинематике взмаха.
Сложное маховое движение ученые свели к суперпозиции двух простых периодических вращений. Первое из них называется взмахом: колебание плоскости крыла вокруг продольной оси аппарата с амплитудой 15 градусов.
Второе называется круткой: вращение крыла вокруг его собственной оси с амплитудой 5–7 градусов. Сдвиг фаз между двумя колебаниями зафиксировали так, чтобы максимум угла крутки приходился на максимум вертикальной скорости крыла.
Скорость набегающего потока задали равной 20 м/с — примерно так летят мигрирующие птицы вроде уток или гусей. Угол атаки, под которым крыло встречает поток, перебирали в трех вариантах: 0, 3 и 6 градусов.
Дальше последовали три серии расчетов. В первой меняли частоту взмахов, во второй — угол атаки, в третьей — амплитуду крутки.
При частоте 4 Гц подъемная сила заметно колебалась, но ее среднее значение, 6,8 Н, совпадало со значением для неподвижной модели. Сила сопротивления в среднем составляли 0,26 Н против 0,34 Н у неподвижного крыла и лишь на коротком интервале периода становились отрицательными, превращаясь в слабую тягу.
При частоте 8 Гц картина качественно изменилась. Амплитуды колебаний выросли, среднее значение подъемной силы осталось прежним — 6,8 Н, а продольная сила изменила знак: вместо сопротивления за период появилась тяга 0,206 Н.
Любопытным оказалось также и то, что максимум горизонтальной тяги по времени совпал с максимумом подъемной силы, и оба экстремума пришлись на опускание крыла.
Вторая серия расчетов показала, что тяга растет вместе с углом атаки.
Третья серия дала менее очевидный результат. Увеличение амплитуды крутки с 5 до 7 градусов уменьшило размах эффективных углов атаки крыла, а вместе с ним и амплитуду колебаний подъемной силы.
А вот на среднюю тягу крутка повлияла слабо: она менялась всего с 0,21 до 0,18 Н. Исследователи связали это с тем, что исследованный диапазон углов лежит вблизи оптимального.
Общий вывод получился весьма полезным для конструкторов. Симметричные относительно горизонтальной плоскости колебания крыла почти не добавляют подъемной силы, ее по-прежнему обеспечивает угол атаки. Зато те же колебания дают продольную тягу, которая зависит только от кинематики взмаха. Такие результаты позволяют разделить задачи удержания высоты и поддержания продольной скорости. Первая задача решается подбором угла тангажа, а вторая — подбором частоты и углов взмахов.
Метод деформируемых сеток для трехмерной задачи о машущем крыле был применен впервые. Возможным это стало благодаря специализированному алгоритму деформации сетки, который позволило считать взмахи в достаточно широком диапазоне углов взмаха и крутки.
Кинематика взмаха описана простыми гармоническими функциями всего с несколькими параметрами: частота, амплитуды взмаха и крутки, сдвиг фаз. Это превращает расчетную модель в инструмент параметрической оптимизации — режим махового полета можно подбирать в вычислительном эксперименте, а не перебирать на стенде.
Отсюда и практический вывод для конструкторов легких аппаратов: плоское крыло без аэродинамического профиля способно создавать продольную тягу даже при небольших амплитудах взмаха и крутки. Отказ от сложного профиля в пользу натянутой на спицы ткани не лишает конструкцию тяги.
Виктор Казанцев, заведующий лабораторией нейробиоморфных технологий МФТИ, рассказал о планах дальнейших исследований: «Птицы остаются для нас образцом энергоэффективности и маневренности, и чтобы приблизиться к ней, нужно понимать, какой вклад в силы дает каждый элемент взмаха. Теперь у нас есть расчетная модель, которая отвечает на этот вопрос количественно. Следующий шаг — параметрические исследования и оптимизация режимов махового движения для повышения эффективности полета модели».
Исследование поддержано Министерством науки и высшего образования РФ и Российским научным фондом (№24-19-00420).
Научная статья: Н.А. Щур, К.К. Забелло, И.В. Митин, И.А. Кастальский, В.Б. Казанцев; Влияние взмаховых движений крыльев орнитоптера на аэродинамические силы // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование 95 и программирование» (Вестник ЮУрГУ ММП). 2026. Т. 19, № 2. С. 95–103. DOI: https://doi.org/10.14529/mmp260210
Кроме сотрудников МФТИ в работе принимали участие их коллеги из ЦНИИ РТК, Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского и Балтийского федерального университета имени И. Канта.
