Никита Борисов из МФТИ и Владимир Нефедов из МГУ исследовали, как непроходимые участки местности, заданное направление движения и случайные отклонения влияют на перемещение и концентрацию войск в математической модели боя. В компьютерных экспериментах они рассмотрели противоборство двух сторон на территории с препятствием, напоминающим озеро. Работа опубликована в журнале Moscow University Computational Mathematics and Cybernetics.
Мы рассказывали о модели математика Никиты Борисова, которая описывала, как перемещение войск зависит от концентрации собственных сил и сил противника. Одним из направлений дальнейшей работы ученый называл учет препятствий (озеро, гора и пр.), а также случайных событий. В новой статье Борисов и Нефедов рассмотрели пространственную модель со случайными возмущениями, направленным движением и непроходимым препятствием.
Модель описывает плотность войск — концентрацию сил каждой стороны на единице площади. Эта величина меняется от участка к участку и со временем. При одинаковой общей численности войска могут быть распределены равномерно, сосредоточены в отдельных местах или вытянуты в полосы. Расчеты позволяют проследить, как меняется их расположение.
В модели войска могут рассредоточиваться по территории и двигаться в заданном направлении. Их численность также меняется при взаимодействии противоборствующих сторон.
Рассредоточение описывается с помощью диффузии: силы распространяются из областей с высокой концентрацией в соседние области с более низкой. Движение в заданном направлении учитывается отдельно. В компьютерных экспериментах его задавали на начальном этапе, а затем прослеживали дальнейшее изменение распределения войск.
К процессам, заданным исходными условиями и параметрами модели, исследователи добавили случайные возмущения — математический шум. Он вносит случайные отклонения в концентрацию сил на отдельных участках территории. Так в расчетах можно воспроизвести нерегулярность распределения войск, которую не передает усредненное описание. Величину этих отклонений задавали как условие компьютерного эксперимента.
Чтобы учесть ограничения местности, внутри отнормированной расчетной области разместили непроходимое препятствие сложной формы, напоминающее озеро. В модели войска не могут пересекать его границу и перемещаются только по доступной территории.
В компьютерных экспериментах исследователи сравнили распределение войск со случайными возмущениями и без них. При добавлении случайных отклонений сильнее выделялись участки повышенной и пониженной концентрации сил. Препятствие ограничивало возможные направления перемещения, а заданное на начальном этапе движение влияло на дальнейшее развитие модельного противоборства.
Никита Борисов, аспирант кафедры анализа систем и решений МФТИ, так рассказал о проделанной работе: «Когда мы рассматриваем реальное военное столкновение, одного общего числа участников уже недостаточно для описания процесса. Существенно, как распределена плотность и где и какие есть препятствия и как с ними могут взаимодействовать участники. Случайные возмущения добавляют к этой картине локальные неоднородности, которые теряются при усреднении. Интерпретация результатов позволяет предположить потенциальное преимущество для наступающей стороны в нестабильных условиях, в то время как оборонительные позиции становятся уязвимыми к случайным факторам, особенно вблизи препятствий. Это подчеркивает сложность контроля линии фронта в реальных боевых сценариях».
Для расчетов ученые использовали метод конечных элементов: разбили доступную территорию на небольшие треугольники и вычисляли, как меняется концентрация сил на каждом участке. Такая сетка позволяет учитывать сложную форму границы препятствия.
Цветные карты показывают концентрацию войск на разных участках территории: где силы распределены относительно равномерно, а где сосредоточены или разрежены.
Авторы также сравнили результаты расчетов на сетках с разным размером треугольников. Такая проверка помогает оценить, насколько полученная картина зависит от точности вычислений.
Новая работа развивает исследование пространственных моделей боя: авторы рассматривают совместное влияние непроходимого препятствия, заданного направления движения и случайных отклонений. Это позволяет изучать, как ограничения местности и случайность меняют распределение сил, и сравнивать результаты при разных условиях компьютерного эксперимента.
Дальнейшие исследования позволят проверить, как полученные закономерности меняются при других параметрах и исходном расположении войск. Для применения модели к реальным ситуациям потребуются наблюдаемые данные, подбор параметров и независимая проверка результатов.
В будущем планируется исследовать неоднородные коэффициенты диффузии, которые могут моделировать мобильность войск на разных участках местности, а также интегрировать многоагентные подходы для учета индивидуальных тактических решений. Разработка более сложных стохастических моделей позволит повысить точность прогнозов в условиях высокой неопределенности.
Научная статья: N. D. Borisov, V. V. Nefedov. Modification of the Lanchester Model to Adapt Directional Impacts and Noise // Moscow University Computational Mathematics and Cybernetics. 2026. Vol. 50, No. 1. P. 13–24. DOI: 10.3103/S0278641925700281.
