Согласно недавнему заявлению компании OpenAI, искусственный интеллект сумел разгадать одну из семи «задач тысячелетия» — проблему сингулярности в уравнениях Навье—Стокса. Это известие произвело глубокое впечатление на мировое научное сообщество и вызвало волну обсуждений, среди которых звучат как положительные отклики, так и критические замечания. Из семи ключевых фундаментальных проблем, выделенных в 2000 году Математическим институтом Клэя, лишь одна была решена — гипотеза Пуанкаре, которую успешно доказал Григорий Перельман. О том, что означает это открытие, рассказал директор Высшей школы современной математики МФТИ Андрей Соболевский.
Об эксперте: Андрей Соболевский — российский математик, доктор физико-математических наук, профессор РАН, профессор НИУ ВШЭ, кавалер ордена Академических пальм Французской республики, постоянный профессор и член правления Независимого московского университета. В 2017–2023 годах возглавлял Институт проблем передачи информации имени А. А. Харкевича РАН. Специалист в области математической физики. Предложил метод реконструкции процесса формирования крупномасштабной структуры Вселенной, основанный на решении задач выпуклого программирования (транспортная задача Монжа—Канторовича). Автор более 30 научных работ в области математики и математической физики.
Математические модели движения газов и жидкостей — одни из самых сложных, даже сложнее моделей небесной механики: в них приходится учитывать не просто десятки или даже сотни небесных тел, а буквально бесконечное множество степеней свободы сплошной среды, которое невозможно пересчитать. Поэтому выработать интуитивное понимание этих моделей очень трудно, глубоких специалистов мало.
Среди моделей динамики жидкости бывают более реалистичные с точки зрения физики и более элегантные с точки зрения математики, и эти два достоинства, конечно, редко совмещаются в одной модели. На мой вкус самая красивая модель — это уравнение Эйлера, описывающее несжимаемую жидкость, лишенную вязкости, то есть в ней нет потерь энергии на внутреннее трение: такая жидкость называется идеальной. 60 лет назад советский математик Владимир Арнольд открыл, что это уравнение обладает такой же математической структурой, как и уравнение, описывающее простейший механический волчок. Только волчок — система всего с тремя степенями свободы, а жидкость бесконечномерна.
Открытие того факта, что уравнения и для волчка, и для идеальной жидкости обладают одинаковой математической структурой (их сейчас называют уравнениями Эйлера—Арнольда), дало возможность найти простые ответы на некоторые физические вопросы, которые до того казались сложными, и привел к бурному развитию математической теории динамики жидкостей в 1970-е годы. Арнольд — один из крупнейших отечественных математиков прошлого века, а этот результат — едва ли не главный в его наследии. Уравнение Навье—Стокса, которое попало в новости на этой неделе, отличается от уравнения Эйлера только тем, что в него добавлено внутреннее трение — вязкость жидкости. В некоторых физических ситуациях это реалистичнее, чем уравнение Эйлера, но красивая математическая структура уравнения Эйлера—Арнольда при добавлении вязкости исчезает.
Как для уравнения Эйлера, так и для уравнения Навье—Стокса важно понимать, может ли описываемое ими течение жидкости быть устроено так, что частицы жидкости разгоняются до бесконечных скоростей, или что в потоке возникают разрывы — такие явления называются сингулярностями. Поскольку вязкость обычно повышает плавность течения (представьте себе очень вязкую жидкость, например мед), возникновение сингулярностей в решениях уравнения Навье—Стокса казалось специалистам гораздо менее вероятным, чем в решениях уравнения Эйлера. Но до последнего времени не было ни строгого математического доказательства, что сингулярности в каком-то из этих уравнений могут возникать, ни обратного: что исходно лишенное сингулярностей течение вязкой жидкости сохраняется таким навсегда. Эта проблема (именно для уравнения Навье—Стокса) была включена в список семи «проблем тысячелетия».
На самом деле потери на трение не обязательно гарантируют отсутствие сингулярностей. Очень красивый пример привел кембриджский математик Кит Моффат (Keith Moffatt) в лекции на школе по теоретической физике в Лез-Уш (les Houches, Франция), которую я слушал четверть века назад. «Смотрите,— сказал Моффат,— я вертикально ставлю на стол монету и раскручиваю ее. Сначала она крутится, сохраняя вертикальность, потом начинает наклоняться и катится на ребре все быстрее и быстрее, пока — б-з-з-з-т! — не ложится на стол неподвижно. Если бы монета и стол были идеальны и потери энергии на трение качения отсутствовали, не было бы и этого роста скорости вращения монеты, прежде чем она упадет: она до бесконечности крутилась бы с постоянной скоростью, как я сначала ее запустил. Но наша монета — это волчок, и благодаря замеченной Арнольдом аналогии мы не можем быть уверены в регуляризирующей роли внутреннего трения: наоборот, оказывается, что иногда трение как раз и приводит к сингулярности!
В первых числах сентября 2026 года наука, по-видимому, обогатилась примерами решений уравнения Эйлера и Навье—Стокса, в которых доказано возникновение сингулярностей. Сначала вплотную к такому результату для уравнения Эйлера пришли американские математики Леван Альпеге (Levent Alpöge) из компании Anthropic и Тристан Бэкмастер (Tristan Buckmaster) из Нью-Йоркского университета, а затем о построении примера завихренного течения для уравнения Навье—Стокса, в котором развивается сингулярность (а также еще одного примера сингулярности для уравнения Эйлера), объявила компания Open AI. Из пресс-релиза Open AI видно, что их пример для уравнения Навье—Стокса представляет собой сильно вытянутый в длину вихрь (что-то вроде смерча), в котором благодаря несжимаемости жидкости сжатие вихря по одному направлению приводит к разгону частиц жидкости в перпендикулярном направлении, это можно сравнить с замешиванием теста, когда кусок растягивается в длину и сокращается в толщину.
Оставим за скобками острый спор о научной добросовестности, возникший между обеими командами исследователей. Вспоминая скандал, сопровождавший доказательство Григорием Перельманом гипотезы Пуанкаре, можно предположить, что и решение остальных «задач тысячелетия» не пройдет гладко. Кстати, основной трудностью, которую удалось преодолеть Перельману, было доказательство отсутствия сингулярностей в так называемых потоках Риччи — математической модели, отчасти родственной гидродинамике.
Заявленный результат о возникновении сингулярностей в уравнении Навье—Стокса интересен, в частности, потому, что это же уравнение описывает «развитую турбулентность»: турбулентное течение состоит из множества вложенных друг в друга вихрей сколь угодно малого размера, и сингулярности в нем плотно распределены по всему пространству, а вязкость считается бесконечно малой. Это совершенно другой режим, противоположный регулярному, и подходы к его исследованию сильно отличаются от попыток доказать или опровергнуть сохранение регулярности гладких решений. Насколько типичен построенный специалистами Open AI вихрь, может ли он оказаться «кирпичиком», из которого строятся турбулентные течения? Это интересный вопрос, ответ на который тоже может появиться в ближайшем будущем. Добавлю еще, что с сугубо математической точки зрения результат для уравнения Эйлера может быть интереснее именно из-за того, что само это уравнение обладает более глубокой структурой.
При написании этого текста ИИ не использовался 😉
